تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس

تبدیل لاپلاس الگو:به انگلیسی در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که بسیار پرکاربرد است. تبدیل لاپلاس با نماد $ℒ\{f(t)\}$ در واقع عملگری خطی از تابع (f (t با آرگومان حقیقی (t (t ≥ ۰ به تابع (F (s با آرگومان مختلط s است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این تبدیل به صورت دوسویه عمل می‌کند. ویژگی مهم این تبدیل آن است که بسیاری از رابطه‌ها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی (f (t برقرار هستند، در تبدیل یافتهٔ آن (F (s نیز با رابطه‌ای ساده و منطقی برقرار‌اند.

این تبدیل به افتخار پیر لاپلاس یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات معرفی کرده بود، تبدیل لاپلاس گذاشته شده‌ است.

تبدیل لاپلاس شبیه به تبدیل یا تبدیل فوریه است با این تفاوت که تبدیل فوریه یک تابع را به حالت‌های ارتعاشی‌اش تجزیه می‌کند ولی تبدیل لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه می‌کند. تبدیل‌های لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادله‌های دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این تبدیل برای تحلیل سامانهٔ نامتغیرهای خطی زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری، و سامانه‌های مکانیکی استفاده می‌شود. در بیشتر موارد، تبدیل لاپلاس برای تبدیل سامانه‌هایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانه‌ای وابسته به بسامد زاویه‌ای مختلط با یکای رادیان بر واحد زمان است. به عبارت دیگر، اگر سامانه‌ای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن را داشته باشیم، تبدیل لاپلاس آن به ما کمک می‌کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان‌تر می‌کند.

روش تبدیل لاپلاس، روش عملیاتی است که می‌تواند در حل معادلات دیفرانسیل خطی سودمند باشد. به کمک تبدیل‌های لاپلاس می‌توان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . عملیات جبری در صفحات مختلط می‌توانند جای عملیاتی مانند مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری را بگیرند . از این رو یک معادله دیفرانسیل خطی را می‌توان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را می‌توان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده بدست آورد .

یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روش‌های ترسیمی برای پیش‌بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم میسر می‌سازد . مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل، می‌توان هر دو مؤلفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا بدست آورد .

پیشینه

تبدیل لاپلاس به بزرگداشت ریاضی‌دان و ستاره‌شناس فرانسوی پیر لاپلاس نامگذاری شده‌است. او اولین بار از این تبدیل در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات استفاده کرد. از سال ۱۷۴۴ لئونارد اویلر شروع به تحقیق دربارهٔ انتگرال‌هایی با فرم زیر کرد: الگو:چپ‌چین

$z=\int X(x)e^{ax}dx\text{ and}z=\int X(x)x^{A}dx$

الگو:پایان چپ‌چین او از این تبدیل برای حل معادله‌های دیفرانسیل استفاده کرد ولی بیش از آن در این زمینه پیگیری نکرد. ژوزف لویی لاگرانژ از کسانی بود که از اویلر تأثیر گرفته‌اند، او در مطالعاتش بر روی انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال رابطه‌هایی با شکل زیر را به دست آورد: الگو:چپ‌چین

$\int X(x)e^{-ax}{a}^{x}dx,$

الگو:پایان چپ‌چین برخی تاریخ نگاران امروزی از آن با نام نظریهٔ تبدیل نوین لاپلاس الگو:به انگلیسی یاد کرده‌اند.الگو:Clarify

به نظر می‌رسد این گونه انتگرال‌ها اولین بار در سال ۱۷۸۲ مورد توجه لاپلاس قرار گرفته‌اند. در آن دوران، او تلاش می‌کرد تا مانند اویلر از خود انتگرال‌ها به عنوان راه حل معادله‌ها استفاده کند.. وی در سال ۱۷۸۵ گام اصلی را به جلو برداشت و به جای این که تنها به دنبال به دست آوردن یک جواب انتگرالی باشد سعی کرد بر روی خود تبدیل، تغییرهای لازم را بدهد. او ابتدا از انتگرالی با شکل زیر استفاده کرد: الگو:چپ‌چین

$\int x^s\varphi (x)dx,$

تعریف

تبدیل لاپلاس تابع (f (t در مجموعهٔ اعداد حقیقی برای t ≥ ۰ تابع (F (s است که به صورت زیر تعریف می‌شود: الگو:چپ‌چین

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

الگو:پایان چپ‌چین پارامتر s عددی مختلط است که:

$s=\sigma +i\omega ,$ با σ و ω حقیقی.

تبدیل لاپلاس دو طرفه

این تبدیل روی تابع‌هایی که روی کل $R$ تعریف شده‌اند اعمال می‌شود و به صورت زیر است:

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

حل انتگرال های معین ناسره با کمک لاپلاس

از دیگر خواص لاپلاس میتوان به انتگرال های ناسره معین که به صورت نا معین بدون جواب و غیر قابل حل هستند را نیز محاسبه کرد ، بر اساس رابطه زیر داریم :

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{f(x)}{x}\right)dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}F(s)ds$

ویژگی‌های تبدیل لاپلاس

ویژگی‌های تبدیل لاپلاس یک طرفه

	حوزه زمان	حوزه الگو:Math	توضیح
رابطه خطی	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$	Can be proved using basic rules of integration.
مشتق دامنه-فرکانس	$tf(t)$	$-F^{\prime }(s)$	الگو:Math is the first derivative of الگو:Math with respect to الگو:Math.
مشتق کلی دامنه فرکانس	$t^{n}f(t)$	$(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$	More general form, الگو:Mathth derivative of الگو:Math.
مشتق	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0^{+})$	الگو:Math is assumed to be a differentiable function, and its derivative is assumed to be of exponential type. This can then be obtained by integration by parts
مشتق دوم	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f^{\prime }(0^{+})$	الگو:Math is assumed twice differentiable and the second derivative to be of exponential type. Follows by applying the Differentiation property to الگو:Math.
مشتق کلی	$f^{(n)}(t)$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{(k-1)}(0^{+})$	الگو:Math is assumed to be الگو:Math-times differentiable, with الگو:Mathth derivative of exponential type. Follows by mathematical induction.
انتگرال دامنه فرکانس	$\frac{1}{t}f(t)$	$\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$	This is deduced using the nature of frequency differentiation and conditional convergence.
مشتق دامنه زمانی	$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau =(u*f)(t)$	$\frac{1}{s}F(s)$	الگو:Math is the Heaviside step function and الگو:Math is the convolution of الگو:Math and الگو:Math.
جابجایی فرکانس	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
جابجایی زمان	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	الگو:Math is the Heaviside step function
تغییر مقیاس زمانی	$f(at)$	$\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$	$a>0$
ضرب	$f(t)g(t)$	$\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{c-iT}{\overset{c+iT}{\int }}F(\sigma )G(s-\sigma )d\sigma$	The integration is done along the vertical line الگو:Nowrap that lies entirely within the region of convergence of الگو:Math.
کانولوشن	$(f*g)(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$	$F(s)\cdot G(s)$
مزدوج مختلط	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
همبستگی-متقابل	$f(t)\star g(t)$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
تابع متناوب	$f(t)$	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$	الگو:Math is a periodic function of period الگو:Math so that الگو:Math, for all الگو:Math. This is the result of the time shifting property and the geometric series.

تبدیل لاپلاس‌های پرکاربرد

تابع	حوزه زمانالگو:سخ$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}$	Laplace الگو:Math-حوزهالگو:سخ$F(s)=ℒ\{f(t)\}$	ناحیه تبدیل	منبع
ضربه واحد	$\delta (t)$	$1$	all الگو:Math	inspection
ضربه تأخیر دار	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$		time shift ofالگو:سخunit impulse
مشتق n ام ضربه	${\delta }^n$	$s^n$	تمام S های جز دامنه	Derivative of n th of Dirac delta
پله واحد	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	الگو:Math	integrate unit impulse
تابع پله ای تأخیر دار	$u(t-\tau )$	$\frac{1}{s}{e}^{-\tau s}$	الگو:Math	time shift ofالگو:سخunit step
شیب	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	الگو:Math	integrate unitالگو:سخimpulse twice
الگو:Mathth powerالگو:سخ(for integer الگو:Math)	$t^n\cdot u(t)$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	الگو:Mathالگو:سخ(الگو:Math)	Integrate unitالگو:سخstep الگو:Math times
الگو:Mathth powerالگو:سخ(for complex الگو:Math)	$t^q\cdot u(t)$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(q+1)}{s^{q+1}}$	الگو:Mathالگو:سخالگو:Math
الگو:Mathth root	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{\frac{1}{n}+1}}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n}+1)$	الگو:Math	Set الگو:Math above.
الگو:Mathth power with frequency shift	$t^n{e}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{n!}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	الگو:Math	Integrate unit step,الگو:سخapply frequency shift
delayed الگو:Mathth powerالگو:سخwith frequency shift	$(t-\tau {)}^n{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	الگو:Math	Integrate unit step,الگو:سخapply frequency shift,الگو:سخapply time shift
exponential decay	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	الگو:Math	Frequency shift ofالگو:سخunit step
two-sided exponential decayالگو:سخ(only for bilateral transform)	$e^{-\alpha |t|}$	$\frac{2\alpha }{{\alpha }^2-s^2}$	الگو:Math	Frequency shift ofالگو:سخunit step
رهیافت نمایی	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	الگو:Math	Unit step minusالگو:سخexponential decay
سینوس	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	الگو:Math	الگو:Harvnb
کسینوس	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	الگو:Math	الگو:Harvnb
سینوس هذلولوی	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	الگو:Math	الگو:Harvnb
کسینوس هذلولوی	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	الگو:Math	الگو:Harvnb
exponentially decayingالگو:سخsine wave	$e^{-\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	الگو:Math	الگو:Harvnb
exponentially decayingالگو:سخcosine wave	$e^{-\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	الگو:Math	الگو:Harvnb
لگاریتم طبیعی	$\ln (t)\cdot u(t)$	$-\frac{1}{s}[\ln (s)+\gamma ]$	الگو:Math	الگو:Harvnb
Bessel functionالگو:سخof the first kind,الگو:سخof order n	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{(\sqrt{s^2+{\omega }^2}-s)}^n}{{\omega }^n\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	الگو:Mathالگو:سخ(الگو:Math)	الگو:Harvnb
تابع خطا	$\mathrm{erf}(t)\cdot u(t)$	$\frac{1}{s}{e}^{(1/4)s^2}(1-\mathrm{erf}\frac{s}{2})$	الگو:Math	الگو:Harvnb
Explanatory notes: الگو:Math represents the Heaviside step function. الگو:Math represents the Dirac delta function. الگو:Math represents the Gamma function. الگو:Math is the Euler–Mascheroni constant. الگو:Math, a real number, typically represents time,الگو:سخalthough it can represent any independent dimension. الگو:Math is the complex frequency domain parameter, and الگو:Math is its real part. الگو:Math are real numbers. الگو:Math is an integer.

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی

نوین

• الگو:Citation.

تاریخی

• الگو:Citation.
• الگو:Citation.
• الگو:Citation، Chapters 3–5.
• الگو:Citation.
• الگو:Citation.

پیوند به بیرون

• تبدیل لاپلاس در متلب