تابع چگالی احتمال

در آمار و احتمال، به بیان ساده، تابعِ چگالیِ احتمالِ یک متغیر تصادفی پیوسته به تابعی گفته می‌شود که انتگرال آن در هر بازهٔ معین، برابر با احتمال قرار داشتن متغیر تصادفی در آن بازه است.

بنابراین، احتمال این‌که یک متغیر تصادفی پیوسته، یک مقدار معیّن اختیار کند، صفر است.

مقدار تابع چگالی احتمال همواره غیرمنفی است.

توزیع پیوسته یک‌متغیره

تابع توزیع نرمال الگو:Nowrap.

احتمال آنکه متغیر تصادفی X در بازه [a,b] واقع شود از رابطهٔ زیر بدست می‌آید: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Pr}(a\le X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

الگو:پایان وسط‌چین همچنین کل مساحت زیر نمودار برابر است با ۱؛ یعنی: الگو:وسط‌چین

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$

الگو:پایان وسط‌چین در نتیجه تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر نوشت: الگو:وسط‌چین

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)\mathrm{d}u,$

الگو:پایان وسط‌چین و اگر f تابعی پیوسته باشد: الگو:وسط‌چین

$f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x).$

تعریف

متغیر تصادفی X را در نظر بگیرید که مقدار آن در فضای اندازه $(𝒳,𝒜)$ تعریف شده و توزیع احتمال آن اندازه X_∗P در $(𝒳,𝒜)$ است، آنگاه چگالی X نسبت به اندازه مرجع μ در $(𝒳,𝒜)$ بواسطه مشتق رادون−نیکودیم به شکل زیر تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین

$f=\frac{\mathrm{d}{X}_{*}P}{\mathrm{d}\mu }.$

الگو:پایان وسط‌چین به عبارت دیگر، به ازای هر مجموعه اندازه‌پذیر $A\in 𝒜$، f می‌تواند هر تابع قابل اندازه‌گیری با ویژگی زیر باشد: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Pr}[X\in A]=\underset{X^{-1}A}{\int }\mathrm{d}P=\underset{A}{\int }f\mathrm{d}\mu$

الگو:پایان وسط‌چین برخلاف احتمالی که به یک متغیر تصادفی گسسته نسبت داده می‌شود، تابع چگالی احتمال می‌تواند مقادیر بیشتر از یک را نیز اختیار کند. به‌طور مثال توزیع یکنواخت در بازه [۱/۲ ،۰] چگالی احتمالی f(x) = ۲ برای ۰ ≤ x ≤ ½ دارد و f(x) = ۰ برای خارج این بازه دارد با داشتن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X می‌توان مقدار امید ریاضی آن را به شکل زیر محاسبه کرد: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{E}[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx.$

چند روش محاسبه

از روش‌های بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X مشتق‌گیری از تابع توزیع تجمعی (F_X(x آن است و که به صورت زیر تعریف می‌شود الگو:وسط‌چین $x\to F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x)$

$\frac{d}{dx}F(x)=f(x).$

الگو:پایان وسط‌چین یک روش دیگر برای بدست آوردن تابع چگالی احتمالی متغیر تصادفی X تخمین مقدار آن در یک بازه کوچک مانند $[x,x+\epsilon ]$: است. الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Pr}(x<X<x+\epsilon )=f(t)\epsilon .$

الگو:پایان وسط‌چین یا به عبارت دیگر الگو:وسط‌چین $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }P(x<X<x+\epsilon )/\epsilon$: الگو:پایان وسط‌چین

رابطه بین توزیع‌های گسسته و پیوسته

می‌توان بعضی از متغیرهای تصادفی گسسته را نیز با استفاده از تابع چگالی احتمالی توصیف کرد. به‌طور مثال برای متغیر تصادفی که دو مقدار ۱ و -۱ را هر کدام با احتمال ۱/۲ می‌گیرد، می‌توان چگالی احتمال زیر را نسبت داد الگو:وسط‌چین

$f(t)=\frac{1}{2}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).$

الگو:پایان وسط‌چین به‌طور کلی اگر متغیر تصادفی n مقدار حقیقی را اختیار کند می‌توان تابع چگالی احتمال آن را به این شکل نوشت الگو:وسط‌چین

$f(t)=\sum _{i=1}^n{p}_i\delta (t-x_i),$

الگو:پایان وسط‌چین که مقادیر x₁, …, x_n مقادیری هستند که متغیر تصادفی X با احتمال p₁, …, p_n اختیار می‌کند..

چگالی احتمال توابع چندمتغیره

برای متغیرهای تصادفی $x_1,\dots ,x_n$ همچنین می‌توان یک تابع چگالی چندمتغیره تعریف کرد که به تمامی "$X$"ها بستگی داشته باشد که به آن تابع چگالی احتمال مشترک (توأم) گویند. این تابع چگالی تابع چگالی $n$ متغیره نام دارد به‌طوری‌که به ازای هر فضای احتمال "$n$" بعدی "$D$" از متغیرهای تصادفی $x_1,\dots ,x_n$ احتمال اینکه این دسته متغیرها در "$D$" قرار بگیرند، به صورت زیر است: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Pr}(X_1,\dots ,X_N\in D)=\underset{D}{\int }{f}_{X_1,\dots ,X_N}(x_1,\dots ,x_N)d{x}_1\cdots d{x}_N.$

الگو:پایان وسط‌چین اگر(F(x₁, …, x_n) = Pr(X₁ ≤ x₁, …, X_n ≤ x_n باشد، به آن توزیع تجمعی احتمال بردار (X₁, …, X_n) گوییم که در آن صورت توزیع چگالی احتمال توأم از طریق مشتق‌گیری از آن بدست می‌آید: الگو:وسط‌چین

$f(x)=\frac{{\partial }^{n}F}{\partial x_1\cdots \partial x_n}{|}_x$

چگالی توزیع حاشیه‌ای

(f_Xi(x_i به ازای i=۱، ۲، …,n چگالی توزیع حاشیه‌ای می‌گوییم که فقط تابع X_i است. می‌توان آن را از طریق انتگرال‌گیری از توزیع تجمعی نسبت به n-1 متغیر دیگر بدست آورد. الگو:وسط‌چین

$f_{X_i}(x_i)=\int f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_1\cdots d{x}_{i-1}d{x}_{i+1}\cdots d{x}_n.$

استقلال

تابع توزیع مشترک n متغیره X₁, …, X_n مستقل از تک تک آن‌ها مستقل است اگر و تنها اگر: الگو:وسط‌چین

$f_{X_1,\dots ,X_n}(x_1,\dots ,x_n)=f_{X_1}(x_1)\cdots f_{X_n}(x_n).$

نتیجه فرعی

اگر بتوان تابع توزیع مشترک یک بردار n تایی را به صورت حاصلضرب n تابع تک متغیره نوشت الگو:وسط‌چین

$f_{X_1,\dots ,X_n}(x_1,\dots ,x_n)=f_1(x_1)\cdots f_n(x_n),$

الگو:پایان وسط‌چین (لزومی ندارد که هر f_i یک چگالی احتمال باشد) در آن صورت n متغیر از یکدیگر مستقل هستند و چگالی توزیع احتمال هریک به صورت زیر محاسبه می‌شود: الگو:وسط‌چین

$f_{X_i}(x_i)=\frac{f_i(x_i)}{\int f_i(x)dx}.$

مثال

این مثال ابتدایی حالت ساده دو متغیره از تعریف تابع چکالی احتمال چند متغیره است. فرض کنید فضای $\overrightarrow{R}$ یک فضای دو متغیره با بردار مختصات (X, Y) است. احتمال اینکه $\overrightarrow{R}$ در کنج مثبت باشد، اینگونه است: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Pr}(X>0,Y>0)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy.$

جمع دو متغیر تصادفی مستقل

تابع چگالی احتمال دو متغیر مستقل U و V، که هر یک دارای یک تابع چگالی احتمالند، کانولوشن تابع چگالی تک تک آن هاست: الگو:وسط‌چین

$f_{U+V}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_U(y)f_V(x-y)dy=(f_U*f_V)(x)$

الگو:پایان وسط‌چین می‌توان رابطه بالا را به N متغیر مستقل، با چگالی‌های U₁, …, U_N تعمیم داد: الگو:وسط‌چین

$f_{U_1+\dots +U_N}(x)=(f_{U_1}*\dots *f_{U_N})(x)$

متغیرهای وابسته و تغییر متغیر

اگر تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X به صورت (f_X(x داده شده باشد، می‌توان (ولی معمولاً غیرضروری است، زیر را مشاهده کنید) تابع چگالی احتمال متغیری مانند (الگو:Nowrap را محاسبه کرد. به این کار «تغییر متغیر» می‌گویند و در عمل برای تولید متغیر تصادفی با شکل دلخواه الگو:Nowrap با استفاده از مولد عدد تصادفی شناخته شده (برای مثال یکنواخت)، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

اگر تابع g یکنواخت باشد، در آن صورت تابع چگالی حاصل به صورت زیر است: الگو:وسط‌چین

$f_Y(y)=\left|\frac{1}{g^{\prime }(g^{-1}(y))}\right|\cdot f_X(g^{-1}(y)).$

الگو:پایان وسط‌چین در اینجا منظور از g⁻¹، تابع معکوس و منظور از 'g، تابع مشتق است.

این به دنبال این حقیقت ناشی می‌شود که احتمال در ناحیه مشتق‌گیری تحت تأثیر تغییر متغیر، باید ثابت بماند. یعنی: الگو:وسط‌چین

$|f_Y(y)dy|=|f_X(x)dx|,$

الگو:پایان وسط‌چین یا الگو:وسط‌چین

$f_Y(y)=\left|\frac{dx}{dy}\right|f_X(x)=\left|\frac{1}{g^{\prime }(x)}\right|f_X(x)=\left|\frac{1}{g^{\prime }(g^{-1}(y))}\right|f_X(g^{-1}(y)).$

الگو:پایان وسط‌چین برای توابعی که یکنواخت نیستند، تابع چگالی احتمال "y" به صورت زیر است: الگو:وسط‌چین

$\sum _{k=1}^{n(y)}\left|\frac{1}{g^{\prime }(g_k^{-1}(y))}\right|\cdot f_X(g_k^{-1}(y))$

الگو:پایان وسط‌چین که در آن (n(y تعداد جواب‌های "x" برای رابطه الگو:Nowrap و (g⁻¹_k(yها همان جواب‌ها هستند.

حال وسوسه انگیز است که در مورد امید ریاضی((E(g(X نیز بیندیشیم. به این منظور ابتدا باید چگالی احتمال(f_g(X را برای متغیر تصادفی جدید (الگو:Nowrap بیابیم. به جای محاسبه الگو:وسط‌چین

$E(g(X))=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}y{f}_{g(X)}(y)dy,$

الگو:پایان وسط‌چین بهتر است. الگو:وسط‌چین

$E(g(X))=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f_X(x)dx.$

الگو:پایان وسط‌چین را محاسبه کرد.

دو انتگرال در تمامی شرایط در حالی که X و (g(X دارای تابع توزیع چگالی باشند، جواب یکسانی دارند. هیچ الزامی وجود ندارد که تابع g یک تابع یک به یک باشد. برخی مواقع انتگرال دوم، بسیار راحت تر از اولی قابل محاسبه است.

متغیرهای چندگانه

فرمول بالا را می‌توان به متغیرهایی (که آن‌ها را دوباره y می‌نامیم) وابسته به چند متغیر تصادفی تعمیم داد. (f(x₀, x₁, …, x_m−1 را می‌توان به عنوان تابع چگالی احتمال y در نظر گرفت که به آن‌ها وابسته است که این وابستگی به صورت الگو:Nowrap است. در نتیجه تابع چگالی به صورت زیر بدست می‌آید: الگو:وسط‌چین

$\underset{y=g(x_0,x_1,\dots ,x_{m-1})}{\int }\frac{f(x_0,x_1,\dots ,x_{m-1})}{\sqrt{\sum _{j=0}^{j<m}}(\frac{\partial g}{\partial x_j}(x_0,x_1,\dots ,x_{m-1}){)}^2}dV$

الگو:پایان وسط‌چین که در آن انتگرال روی m-1 بعد است و باید dV را متناسب با این انتگرال جایگزین کرد. متغیرهای تصادفی x₀, x₁, …, x_m−1 بالطبع توابعی از این پارامتریزه کردن‌ها هستند.

شاید بصری به نظر برسد، ولی این ناشی از مطلب زیر است: فرض کنید 'x' یک متغیر تصادفی n-بعدی با تابع چگالی احتمال f است. اگر الگو:Nowrap و H تابعی دوسویه و تشخیص پذیر باشد، y دارای چگالی احتمال g است: الگو:وسط‌چین

$g(𝐲)=f(𝐱)|\det \left(\frac{d𝐱}{d𝐲}\right)|$

الگو:پایان وسط‌چین که مشتق در نظر گرفته شده، ماتریس ژاکوبی معکوس تابع H نسبت به y است.

با استفاده از تابع دلتا، (و فرض بر استقلال) جواب یکسانی به صورت زیر بدست می‌آید.

اگر تابع چگالی احتمال متغیرهای تصادفی مستقل X_i, الگو:Nowrap به صورت (f_Xi(x_i داده شده باشند، می‌توان تابع چگالی احتمال متغیرهایی مانند (الگو:Nowrap را حساب کرد. فرمول زیر ارتباطی بین تابع چگالی احتمال y که با (f_Y(y نشان می‌دهیم و (f_Xi(x_i با استفاده از تابع دلتای دیراک برقرار می‌کند: الگو:وسط‌چین

$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\dots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)\dots f_{X_n}(x_n)\delta (y-G(x_1,x_2,\dots x_n))d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی
• الگو:یادکرد-ویکی

• Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, الگو:ISBN.