ماتریس ژاکوبی

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال در حساب برداری، ماتریس ژاکوبی الگو:به انگلیسی از یک تابع برداری-مقدار از چندین متغیر برابر ماتریسی از همه مشتق‌های جزئی درجه اول آن است. وقتیکه ماتریس مربعی باشد، یعنی، وقتیکه تابع همان تعداد متغیر را به عنوان ورودی بپذیرد که تعداد مولفه‌های برداری خروجی‌اش است، به دترمینان آن دترمینان ژاکوبی گفته می‌شود. در متون هم به خود ماتریس و هم به دترمینان به سادگی ژاکوبی هم گفته می‌شود.

ماتریس ژاکوبی، نامیده شده به اسم ریاضیدان آلمانی: کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی، ماتریسی است که در آن تمام مشتق‌های جزئی مرتبه اول یک تابع چند متغیره $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ موجود می‌باشد. این ماتریس تعمیم یافته‌ای از مشتق یک بعدی است.

تعریف

اگر $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ یک تابع مشتق‌پذیر چند متغیره باشد که مقادیر آن $[y_1(x_1\cdots x_n),\cdots ,y_m(x_1\cdots x_n)]$ باشند، آنگاه مشتق آن در هر نقطه $(x_1\cdots x_n)$، یک نگاشت خطی از فضای ${ℝ}^n$ به ${ℝ}^m$ می‌باشد، به طوری که ماتریس این نگاشت خطی به صورت زیر نوشته می‌شود.

$J_F(x_1,\dots ,x_n):=\frac{\partial (y_1,\dots ,y_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}:=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$

چند مثال

مثال ۱: تابع $F:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ را با این تعریف در نظر بگیرید:

$F(x,y)=\left[\begin{array}{c}{x}^{2}y\\ 5x+\sin (y)\end{array}\right].$

که در آن

$F_1(x,y)=x^{2}y$

و

$F_2(x,y)=5x+\sin (y)$

ماتریس ژاکوبی F چنین است:

$J_F(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial F_1}{\partial x}& \frac{\partial F_1}{\partial y}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x}& \frac{\partial F_2}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2xy& x^2\\ 5& \cos (y)\end{array}\right]$

و دترمینان ژاکوبی:

$\det (J_F(x,y))=2xy\cos (y)-5x^2.$

مثال ۲: ماتریس ژاکوبی تابع F : R³ → R⁴ شامل:

$y_1=x_1$

$y_2=5x_3$

$y_3=4x_2^2-2x_3$

$y_4=x_3\sin (x_1)$

چنین است:

$J_F(x_1,x_2,x_3)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \frac{\partial y_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \frac{\partial y_2}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_3}{\partial x_1}& \frac{\partial y_3}{\partial x_2}& \frac{\partial y_3}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_4}{\partial x_1}& \frac{\partial y_4}{\partial x_2}& \frac{\partial y_4}{\partial x_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 5\\ 0& 8x_2& -2\\ x_3\cos (x_1)& 0& \sin (x_1)\end{array}\right].$

این مثال همچنین نشان می‌دهد که ماتریس ژاکوبی لزوماً نباید مربعی باشد.

کاربردها

از مهم‌ترین استفاده‌های این ماتریس، دترمینان آن است (مسلماً در صورتی که ماتریس، مربعی باشد) که در محاسبه انتگرال‌های چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد. به این روش، روش تغییر متغیر در محاسبه انتگرال‌ها گفته می‌شود.

جستارهای وابسته

• ماتریس هسین

منابع

الگو:پانویس منابع بیشتر:فصل های۱۴_۱۶ ریاضیات توماس