تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .

تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..

تابع توزیع تجمعی الگو:به انگلیسی یا تابع توزیع انباشتی تابعی غیر صفر و هم نوای صعودی است که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی

$x\to F_X(x)=\mathrm{P}(X\le x)$

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که: الگو:وسط‌چین $P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$ الگو:پایان وسط‌چین تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد الگو:وسط‌چین $F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$ الگو:پایان وسط‌چین در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است: الگو:وسط‌چین $\mathrm{Pr}(X=x)=F(x_0)-F(x_0-),$ الگو:پایان وسط‌چین که در اینجا $F(x_0-)$ به معنی حد چپ تابع $F_X(x)$ است وقتی که $x$ به $x_0$ میل می‌کند

خواص تابع توزیع تجمعی

• تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

الگو:وسط‌چین $$F_X(x)=P(X\le x)=\sum _{t\le x}P(t)$$ الگو:پایان وسط‌چین

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته

• تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

الگو:وسط‌چین $$F_X(x)=P(X\le x)=\underset{t\le x}{\int }f(t)dt$$ الگو:پایان وسط‌چین

• تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً اکیدا صعودی) و از راست پیوسته هستند.
• $0\le F_X(x)\le 1$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$
• اگر $x_1\le x_2$ باشد، آنگاه :

$$F_X(x_1)\le F_X(x_2)$$

• $P(X>x)=1-F_X(x)$
• $P(x_1<x\le x_2)=F_X(x_2)-F_X(x_1)$
• اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

الگو:وسط‌چین $$F_X(M)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{M}{\int }}f(x)dx=\frac{1}{2}$$ الگو:پایان وسط‌چین و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.

مثال

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد: الگو:وسط‌چین $$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\le -1\\ \\ x+1& -1<x\le 0\\ \\ 1-x& 0<x<1\\ \\ 0& x\ge 1\end{array}$$ الگو:پایان وسط‌چین نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

• 
  نمودار تابع چگالی احتمال این مثال

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت: الگو:وسط‌چین $$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\le -1\\ \\ \frac{1}{2}(x+1{)}^2& -1<x\le 0\\ \\ 1-\frac{(1-x{)}^2}{2}& 0<x<1\\ \\ 1& x\ge 0\end{array}$$ الگو:پایان وسط‌چین

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی این مثال

تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع

در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

توزیع طبیعی استاندارد

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای الگو:Math $x\in$ به شکل زیر تعریف می‌شود : الگو:وسط‌چین $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-x^2}{2}}$$ الگو:پایان وسط‌چین و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با: الگو:وسط‌چین $$F(x)=\int f(x)dx=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-x^2}{2}}=\frac{1}{2}(1+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}})$$ الگو:پایان وسط‌چین

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای توزیع طبیعی استاندارد

توزیع پواسون

تابع جرم احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...} $k\in$ و $\lambda \in (0,\mathrm{\infty })$ به شکل زیر تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین $$P(x)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$$ الگو:وسط‌چین و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با: الگو:پایان وسط‌چین $$F(x)=\sum P(x)=\sum \frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1,\lambda )}{k!}$$ الگو:پایان وسط‌چین

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه پواسون

توزیع نمایی

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای $x\ge 0$ به شکل زیر تعریف می‌شود : الگو:وسط‌چین $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$$ الگو:پایان وسط‌چین و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با: الگو:وسط‌چین $$F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}$$ الگو:پایان وسط‌چین

نمودار

• 
  نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه نمایی

تابع توزیع تجمعی برای توابع توام

تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین $$F_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,....,x_n)=P(X_1\le x_1,X_2\le x_2,...,X_n\le x_n)$$ الگو:پایان وسط‌چین

توزیع توام

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره $f_{XY}(x,y)$ به این شکل خواهد بود: الگو:وسط‌چین $$F_{XY}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$$ الگو:پایان وسط‌چین ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

• $0\le F_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,....,x_n)\le 1$
• $\underset{x_1,x_2,...,x_n\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,....,x_n)=0$
• $\underset{x_1,x_2,...,x_n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,....,x_n)=1$
• $P(x_1<x\le x_2,y_1<y\le y_2)=F_{XY}(x_2,y_2)-F_{XY}(x_1,y_2)-F_{XY}(x_2,y_1)+F_{XY}(x_1,y_1)$