تابع هولومورفیک

یک شبکه مستطیلی (بالا) و تصویر آن تحت نگاشت همدیس الگو:Mvar (پایین).

تابع هولومورفیک الگو:به انگلیسی در ریاضیات، یک تابع مختلط-مقدار، از یک یا بیشتر متغیر مختلط است که در همسایگی هر نقطه در دامنهاش در فضای مختصات مختلط الگو:Math مشتق‌پذیر مختلط است. وجود یک مشتق مختلط در یک همسایگی، شرط بسیار قوی‌ای است: به معنی ضمنی آن است که یک تابع هولومورفیک بینهایت مشتق‌پذیر است؛ و به صورت محلی با سری تیلور خودش برابر است (تحلیلی است). توابع هولومورفیک «اشیای اصلی مطالعه» در گرایش آنالیز مختلط هستند.

اگرچه اصطلاح تابع تحلیلی را اغلب بجای اصطلاح «تابع هولومورفیک» بکار می‌رود، واژه «تحلیلی» به صورت کلی‌تر تعریف شده‌است تا به هر تابعی (حقیقی، مختلط، یا نوع کلی‌تر) اشاره کند که آن تابع را باید بتوان بصورت یک سری توانی همگرا در همسایگی هر نقطه در دامنه‌اش نوشت. این موضوع که همه توابع هولومورفیک نوعی تابع تحلیلی مختلط هستند و برعکس، یک قضیه اصلی در تحلیل مختلط است.

به توابع هولومورفیک گاهی توابع منظم هم می‌گویند. به تابع هولومورفیکی که دامنه‌اش کل صفحه مختلط است، یک تابع تام گفته می‌شود. عبارت «هولومورفیک در یک نقطه الگو:Math» فقط به معنی مشتق‌پذیر در الگو:Math نیست، بلکه به معنی آن است که در همه‌جا در همسایگی الگو:Math در صفحه مختلط مشتق‌پذیر است.

تعریف

تابع الگو:Math در صفر مشتق‌پذیر مختلط نیست، زیرا همانطور که در بالا نشان داده شده است، مقدار الگو:Math بسته به جهتی که به سمت صفر میل می‌کند متفاوت است. در امتداد محور حقیقی، الگو:Mvar برابر تابع الگو:Math است و حد برابر 1 است، درحالیکه در امتداد محور موهومی، الگو:Mvar برابر الگو:Math است و حد برابر الگو:Math است. جهت‌های دیگر منجر به حدهای دیگری می‌شود.

اگر به ما یک تابع مختلط-مقدار الگو:Mvar از یک متغیر منفرد مختلط داده شده باشد، مشتق الگو:Mvar در یک نقطه الگو:Math در دامنه‌اش توسط حد زیر تعریف می‌شود:

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$

این مشابه تعریف مشتق برای توابع حقیقی است، فقط همه کمیت‌هایش مختلط هستند. بخصوص، حد موقعی گرفته می‌شود که عدد مختلط الگو:Mvar به سمت الگو:Math میل می‌کند، و باید برای هر دنباله مقادیر مختلط برای الگو:Mvar که در صفحه مختلط به سمت الگو:Math میل می‌کند، مقدار یکسانی داشته باشد. اگر حد موجود باشد، می‌گوییم که الگو:Mvar در نقطه الگو:Math مشتق‌پذیر مختلط است. مفهوم مشتق‌پذیری مختلط ویژگی‌های مشترک زیادی با مشتق‌پذیری حقیقی دارد: خطی است و از قاعده ضرب، قاعده خارج‌قسمت، و قاعده زنجیره‌ای پیروی می‌کند.

اگر الگو:Mvar در هر نقطه الگو:Math در یک مجموعه باز الگو:Mvar مشتق‌پذیر مختلط باشد، آنوقت می‌گوییم که الگو:Mvar روی الگو:Mvar هولومورفیک است. می‌گوییم که الگو:Mvar در نقطه الگو:Math هرلومورفیک است اگر الگو:Mvar روی یک همسایگی الگو:Math مشتق‌پذیر مختلط باشد. می‌گوییم که الگو:Mvar روی یک مجموعه غیر-باز الگو:Mvar هولومورفیک است اگر روی یک همسایگی الگو:Mvar هولومورفیک باشد. به عنوان یک غیر مثال، تابع الگو:Math دقیقا روی یک نقطه (الگو:Math) مشتق‌پذیر مختلط نیست، و به این دلیل، در نقطه الگو:Math هولومورفیک نیست، زیرا هیچ مجموعه بازی حول الگو:Math موجود نیست که در آن الگو:Mvar مشتق‌پذیر مختلط باشد.

رابطه بین مشتق‌پذیری حقیقی و مشتق‌پذیری مختلط به این صورت است: اگر یک تابع مختلط الگو:Math هولومورفیک باشد، آنوقت الگو:Mvar و الگو:Mvar در نسبت به الگو:Mvar و الگو:Mvar مشتق جزیی اولیه دارند و معادلات کوشی-ریمان را برآورده می‌کنند:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\text{and}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

یا، به صورت معادل، مشتق ویرتین‌گر از الگو:Mvar نسبت به الگو:Math (مزدوج مختلط الگو:Mvar) برابر صفر است:

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0,$

که به صورت تقریبی، می‌توان گفت که الگو:Mvar به صورت تابعی از الگو:Math (مزدوج مختلط الگو:Mvar) مستقل است.

اگر پیوستگی داده نشده باشد، وارون قضیه لزوما درست نیست. یک وارون ساده آن است که اگر الگو:Mvar و الگو:Mvar مشتق جزیی اول پیوسته داشته باشند، و معادلات کوشی-ریمان را برآورده سازند، آنوقت الگو:Mvar هولومورفیک است. یک وارون رضایت‌بخش‌تر، که اثبات آن بسیار سخت‌تر است، قضیه لومن-منچاف است: اگر الگو:Mvar پیوسته باشد، الگو:Mvar و الگو:Mvar مشتق‌های جزیی اولیه داشته باشند (که لزوما پیوسته نیستند)، و معادلات کوشی-ریمان را برآورده کنند، آنوقت الگو:Mvar هولومورفیک است.

مثالها

تابع هولومورفیک

تمام توابع چندجمله‌ای در z با ضرایب مختلط بر C هولومورفیک‌اند، و بنابراین سینوس، کسینوس و تابع نمایی چنین‌اند. (توابع مثلثاتی در حقیقت به‌طور نزدیک وابسته به تابع نمایی اند و به وسیلهٔ فرمول اویلر می‌توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). شاخهٔ اصلی تابع لگاریتم در مجموعهٔ C - {z ∈ R: z ≤ ۰} هولومورفیک است. تابع ریشه می‌تواند به صورت

$\sqrt{z}=e^{\frac{1}{2}\ln z}$

تعریف شود و بنابراین هولومورفیک است هر کجا که لگاریتم ln(z) هولومورفیک باشد. تابع ۱/z بر {z: z ≠ ۰} هولومورفیک است.

مشخصات

از آنجا که مشتق‌گیری مختلط خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم، و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می‌کند، مجموع‌ها، ضرب‌ها و ترکیب توبع هولومورفیک، هولومورفیک‌اند و خاج قسمت دو تابع هولومورفیک، هولومورفیک است هرجا که مخرج مخالف صفر باشد. هر تابع هولومورفیک بینهایت با مشتق‌پذیر در هر نقطه است. تابع هولومورفیک منطبق بر سری تیلوراش است و سری تیلور آن در هر دیسک باز که کاملاً درون دامنهٔ U قرار دارد همگراست. سر تیلور ممکن است در یک دیسک بزرگ همگرا باشد؛ برای نمونه سری تیلور تابع لگاریتم در هر دیسک که شامل ۰ نباشد همگراست، در مجاورت خط حقیقی منفی. برای اثبات به توابع هولومورفیک تحلیلی اند مراجعه کنید. اگر C را با R^۲ نشان دهیم، آنگاه توابع هولومورفیک منطبق بر آن دسته از توابع دو متغیر حقیقی اند که در معادلات کوشی-ریمان صدق می‌کنند. نزدیک نقاط با مشتقاط غیر صفر، توابع هولومورفیک همنوایند به این معنی که آن‌ها زاویه و شکل (ولی نه اندازه) اشکال کوچک را حفظ می‌کنند. فرمول انتگرال کوشی می‌گوید که هر تابع هولومورفیک درون یک دیسک تماماً با مقادیرش روی حاشیهٔ دیسک مشخص می‌شود. از دید جبری مجموعهٔ توابع هولومورفیک بر یک مجموعهٔ باز یک حلقهٔ جابجایی و یک فضای برداری مختلط‌اند.

گسترش به آنالیز تابعی

مفهوم تابع هولومورفیک می‌تواند به فضاهای متناهی-بعد از آنالیز تابعی گسترش داده شود.

اصطلاحات فنی

امروزه، اکثر ریاضی دانان عبارت «تابع هولومورف» را به «تابع تحلیلی» ترجیح می‌دهند، نظر به اینکه عبارت دوم مفهوم کلی‌تری است. این هم‌چنینی به این دلیل است که یک نتیجهٔ مهم در آنالیز مختلط این است که هر تابع هولومورفیک به‌طور مختلط تحلیلی است، حقیقتی که مستقیماً تعاریف را دنبال نمی‌کند. با این وجود عبارت «تحلیلی» همچنان پرکاربرد است. کلمهٔ «هولومورف» از کلمهٔ یونانی «اُلُس» (ὅλος)، به معنی «همه»، و «مُرفِه» (μορφή)، به معنی «صورت» یا «ظاهر» مشتق شده‌است.

جستارهای وابسته

• تابع مرومورفیک
• تابع تام