فرمول اویلر

الگو:جعبه عدد e فرمول اویلر الگو:انگلیسی، منتسب به لئونارد اویلر، اتحادی است در آنالیز مختلط که رابطهٔ بین تابع نمایی مختلط و توابع مثلثاتی را به صورت زیر بیان می‌دارد:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

که در اینجا $e$ پایه لگاریتم طبیعی، $i=\sqrt{-1}$ واحد موهومی و متغیر $x$ عددی دلخواه و حقیقی بر حسب واحد رادیان است.

با قراردادن $\pi$ به جای متغیر شکل خاصی از رابطهٔ بالا بدست می‌آید.

$$e^{i\pi }=-1$$

اثبات

پرتره لئونارد اویلر در سال ۱۷۵۳پدیدآورنده: یعقوب امانوئل هندمن

می‌دانیم:

$\begin{array}{cccccccc}{i}^0& =1,& i^1& =i,& i^2& =-1,& i^3& =-i,\\ i^4& =1,& i^5& =i,& i^6& =-1,& i^7& =-i,\end{array}$

و الی آخر. با استفاده از بسط تیلور $e^{ix}$ برای هر $x$ حقیقی داریم:

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\frac{(ix{)}^5}{5!}+\frac{(ix{)}^6}{6!}+\frac{(ix{)}^7}{7!}+\frac{(ix{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{i{x}^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos x+i\sin x.\end{array}$

جستارهای وابسته

• یادواره‌های لئونارد اویلر

منابع

• Strang G (1998). "Introduction to Linear Algebra", 3rd ed.، Wellesley-Cambridge Press. الگو:ISBN.
• Henry J. Ricardo (2009). "A Modern Introduction to Differential Equations", 2nd ed.، Academic Press. الگو:ISBN.