قاعده زنجیره‌ای

نمودار مشتقی برای توابع زنجیره‌ای

در حسابان، قاعده زنجیره‌ای الگو:به انگلیسی یک فرمول است که مشتق ترکیب دو تابع مشتق‌پذیر الگو:Mvar و الگو:Mvar را به صورت مشتق الگو:Mvar و الگو:Mvar بیان می‌کند.

به‌طور شهودی، اگر متغیر y تابع متغیر دومی به نام $u$ باشد، و $u$ نیز خود تابع متغیر سوم $x$ باشد، آن‌گاه آهنگ تغییر $y$ نسبت به $x$ برابر است با آهنگ تغییر $y$ نسبت به $u$ ضرب در آهنگ تغییر $u$ نسبت به $x$. به زبان ریاضی: الگو:وسط‌چین

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$

اثبات

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها

برای اثبات قاعدهٔ زنجیره‌ای با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها، ابتدا $y=f(x)$ و $x=g(t)$ را در نظر گرفته، و سپس با انتخاب بی‌نهایت کوچک $\mathrm{\Delta }t=0$، $\mathrm{\Delta }x=g(t+\mathrm{\Delta }t)-g(t)$ و بصورت متقابل، $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ را محاسبه می‌کنیم. داریم:$$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$$و سپس با اعمال جزء استاندارد به رابطهٔ پایین، یعنی همان قاعدهٔ زنجیره‌ای، دست می‌یابیم.$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$$

مثال‌ها

اگر تابع $g(x)$الگو:چر در نقطه $x=a$ و تابع $f$ در $x=g(a)$الگو:چر مشتق پذیر باشند آنگاه تابع $h(x)=f(g(x))$ نیز در $x=a$ مشتق پذیر است و داریم: الگو:وسط‌چین $h^{\prime }(a)=f^{\prime }(g(a)).g^{\prime }(a)$ الگو:پایان وسط‌چین مثلاً اگر $f(x)=x^n$ که در آن $n\in Z$ باشد مشتق تابع $F(x)=(g(x){)}^n$ در نقاط مشتق پذیر برابر است با: الگو:وسط‌چین

$F^{\prime }(a)=n(g(a){)}^{n-1}{g}^{\prime }(a)$

جستارهای وابسته

• مشتق
• مشتق ضمنی
• حساب
• تابع

منابع

• کتاب انتگرال و دیفرانسیل دوره پیش دانشگاهی رشته علوم ریاضی (ریاضی-فیزیک) ISBN 964-05-0277-4