ترکیب تابع

پرونده:Funccompose.jpg

شکل(9) نمودار ترکیب دو تابع

در ریاضیات، ترکیب تابع یک نگاشت نقطه به نقطه از یک تابع به تابعی دیگر است برای تولید تابعی سوم. برای مثال دو تابع الگو:Math و تابع الگو:Math می‌توانند ترکیب شوند و حاصل تابعی خواهد بود که مقدار الگو:Mvar در الگو:Mvar را به مقدار الگو:Mvar در الگو:Mvar نگاشت می‌کند. به‌طور شهودی، اگر الگو:Mvar حاصل تابع الگو:Mvar از الگو:Mvar باشد و الگو:Mvar حاصل تابع الگو:Mvar از الگو:Mvar باشد، بنابراین الگو:Mvar حاصل تابعی از الگو:Mvar است.

تابع حاصل که به صورت الگو:Math نماد می‌شود -که در بسیاری از منابع شامل این مقاله به صورت الگو:Math نیز نوشته می‌شود- برای تمام الگو:Mathهای عضو الگو:Math به صورت الگو:Math تعریف می‌شود. نماد الگو:Math به صورت‌های "الگو:Math در دایره الگو:Math"، "الگو:Math دور الگو:Math"، "ترکیب الگو:Math با الگو:Math"، "الگو:Math بعد از الگو:Math"، "الگو:Math به دنبال الگو:Math" و "الگو:Math ی الگو:Math" و "الگو:Math اُ الگو:Math"نیز خوانده می‌شود.
مشتق ترکیب توابع مشتق پذیر از طریق قاعده زنجیره ای بدست می‌آید. مشتق‌های مراتب بالاتر از چنین توابعی از رابطهٔ فادی برونو به دست می آیند.

ترکیب دو تابع حقیقی. تابع قدر مطلق و تابع درجه سه. که در ترتیب‌های متفاوت، نشان دهنده ی عدم خاصیت جابه‌جایی‌اند.

خواص

• شرکت‌پذیری

ترکیب تابع همیشه شرکت پذیر است. به این معنا که اگر الگو:Math، الگو:Math و الگو:Math سه تابع با دامنه و برد مناسب باشند، در اینصورت الگو:Math، که در اینجا پرانتز به این معناست که عمل ترکیب ابتدا بر روی دو تابع داخل پرانتز صورت می‌گیرد. بنابراین چون محل قرارگیری پرانتزها در حاصل نهایی ترکیب تأثیری ندارد، می‌توان آن‌ها را بدون پیش آمد هیچ ابهامی حذف کرد.

• خاصیت جابه‌جایی

گفته می‌شود دو تابع الگو:Mvar و الگو:Mvar با یکدیگر خاصیت جابه‌جایی دارند اگر الگو:Math. در کل، ترکیب توابع تعویض پذیر نخواهند بود. تعویض‌پذیری یک خاصیت ویژه است که توابع مخصوصی دارای آن می‌باشند و در موقعیت‌های خاص اتفاق می افتد. برای مثال، |x| + 3 = |x + 3| فقط زمانی صادق است که الگو:Math .

مثال

به عنوان مثال فرض کنید ارتفاع یک هواپیما در زمان الگو:Mvar توسط تابع الگو:Math تعیین می‌شود، و تراکم اکسیژن درون هواپیما در ارتفاع الگو:Mvar توسط تابع الگو:Math تعیین می‌شود. بنابراین تابع (الگو:Math میزان تراکم اکسیژن درون هواپیما در زمان الگو:Mvar را تعریف می‌کند.

به توان رسیدن توابع

مقاله اصلی: تابع مکرر
اگر $Y\subseteq X$، تابع $f:X\to Y$ می‌تواند با خودش ترکیب شود. این ترکیب در بعضی مواقع با f ² نشان داده می‌شود. بنابراین:

$(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^2(x)$

$(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^3(x)$

ترکیب بیش از یک بار یک تابع با خودش، تابع مکرر نامیده می‌شود.

خواص ترکیب تابع:

• $f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1}$ برای n‌های طبیعی
• بنابر تعریف: $f^0=i{d}_{D(f)}$ (تابع همانی در دامنهٔ f)
• اگر تابع $f:X\to X$، تابع وارون داشته باشد، توان‌های منفی تابع $f^{-k}$ $(k>0)$، به صورت توان تابع وارون $f$ تعریف می‌شوند.

نکته: اگر تابع الگو:Mvar مقادیر خود را در یک حلقه بگیرد (به خصوص برای الگو:Mvar‌های حقیقی یا مختلط)، ممکن است اشتباه پیش آید، چرا که الگو:Math به معنای ضرب الگو:Mvar بار الگو:Mvar در خودش نیز می‌باشد. (مثال الگو:Math ) برای توابع مثلثاتی، معمولاً دومی مد نظر است (حداقل برای توان‌های مثبت) . برای مثال در مثلثات، نماد اندیس بالایی وقتی برای توابع مثلثاتی به کار می‌رود به معنای به توان رسیدن معمولی است، مثلا: الگو:Math. در عین حال برای توان‌های منفی (به خصوص −1) معمولاً به وارون تابع اشاره می‌کند. مثلا: الگو:Math.

در بعضی مواقع، یک عبارت برای الگو:Mvar از الگو:Math می‌توان به دست آورد اگر مقادیر الگو:Mvar غیر صحیح باشند. این مضمون مکرر کسری نام دارد. برای مثال مکرر تابع الگو:Mvar تابعی مانند الگو:Mvar است که در رابطهٔ الگو:Math صدق کند. در مثالی دیگر، اگر الگو:Mvar تابع جانشین باشد، الگو:Math .

این ایده می‌تواند به این صورت عمومی‌سازی شود که شمارش مکررسازی یک پارامتر مداوم شود. این سیستم یک جریان نام دارد، که توسط راه حل‌های معادله ی شرودر مشخص می‌شود. توابع مکرر و جریان‌ها به‌طور معمول در مطالعهٔ فراکتال‌ها و سیستم‌های دینامیک ظاهر می‌شوند.

تکوارهای ترکیب

مقاله اصلی: تکوارهای دگرگونی
فرض کنیم الگو:Math الگو:Math دو تابع با دامنه و برد برابر باشند. می‌توان رشته‌های بلند و بالقوه پیچیده‌ای از ترکیب این دو تابع تولید کرد، مثل الگو:Math. چنین رشته‌هایی ساختمان جبری یک تکوار را دارا می‌باشند، و یک تکوار دگرگونی نامیده می‌شوند. در کل، تکوارهای ترکیب، می‌توانند دارای ساختمان‌های بسیار پیچیده باشند. یک مثال خاص در این مورد منحنی درام است. مجموعهٔ تمام توابع الگو:Math، یک نیم گروه کامل دگرگونی بر روی الگو:Mvar نامیده می‌شود.

اگر توابع دوسو باشند، مجموعهٔ تمام ترکیب‌های ممکن از این توابع، تشکیل یک گروه دگرگونی می‌دهند؛ و گفته می‌شود که این گروه از این توابع به دست آمده‌است.

مجموعهٔ تمام توابع دوسوی الگو:Math، یک گروه نسبت به عملگر ترکیب می‌سازد که گروه متقارن یا گاهی گروه ترکیب نامیده می‌شود.

نماد گذاری‌های جایگزین

• بسیاری از ریاضیدانان نماد ترکیب را حذف می‌کنند، و به جای الگو:Math، می نویسند الگو:Math.
• در اواسط قرن بیستم، بعضی از ریاضی دانان تصمیم گرفتند که نوشتن "الگو:Math" به این معنا که ابتدا الگو:Mvar اعمال شود و سپس الگو:Mvar، زیادی گیج‌کننده است. آن‌ها "الگو:Math" را به جای "الگو:Math" و "الگو:Math" را به جای "الگو:Math" می‌نوشتند. این کار می‌تواند در بعضی موارد طبیعی تر و ساده‌تر از نوشتن تابع در سمت چپ به نظر برسد – مثلاً در جبر خطی، وقتی الگو:Mvar یک بردار خطی باشد، و الگو:Mvar و الگو:Mvar دو ماتریس باشند و ترکیب آن‌ها به معنای ضرب ماتریسی باشد. این نمادگذاری جایگزین، نمادگذاری پسوند نام دارد. ترتیب در اینجا اهمیت دارد زیرا ضرب ماتریس‌ها جا به جایی پذیر نیست.
• ریاضیدانانی که از نمادگذاری پسوند استفاده می‌کنند، ممکن است از عبارت "الگو:Math" به معنای "اول الگو:Mvar را اعمال کن و سپس الگو:Mvar" استفاده کنند که باعث به وجود آمدن ابهام می‌شود. دانشمندان علوم کامپیوتر برای رفع این ابهام از عبارت "f;g" بهره می‌گیرند.

عملگر ترکیب

مقاله اصلی: عملگر ترکیب
با استفاده از تابع الگو:Mvar، عملگر ترکیب الگو:Math به صورت عملگری تعریف می‌شود که توابع را به هم مربوط می‌کند.

$C_{g}f=f\circ g.$

عملگرهای ترکیب در رشتهٔ نظریه عملگرها مطالعه می‌شوند.

عمومی سازی‌ها

ساختمان ترکیب تابع در نظریه رده ها و با مفهوم مورفیزم، به عنوان جایگزین رده ای-تئوری توابع، اصل‌گذاری شده‌است.
ترکیب برای توابع چند متغیره نیز امکان‌پذیر است. تابع به دست آمده هنگامی که الگو:Math جایگزین متغیر الگو:Math از تابع الگو:Math می‌شود، یک ترکیب الگو:Math و الگو:Math نامیده می‌شود و به صورت الگو:Math نمادگذاری می‌شود.

$f{|}_{x_i=g}=f(x_1,\dots ,x_{i-1},g(x_1,x_2,\dots ,x_n),x_{i+1},\dots ,x_n).$

هنگامی که الگو:Mvar یک ثابت سادهٔ b باشد، ترکیب به صورت یک ارزه (ی ناقص) در می‌آید، که نتیجهٔ آن به عنوان یک محدودیت یا یک عامل کمکی شناخته شده‌است.

$f{|}_{x_i=b}=f(x_1,\dots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\dots ,x_n).$

جستارهای وابسته

• متغیر تصادفی
• تابع مرتبه بالاتر
• حساب لامبدا