ضرب ماتریسی

در جبر خطی، ضرب ماتریسی به عملیات ضرب یک ماتریس با یک کمیت نرده‌ای یا یک ماتریس دیگر گفته می‌شود. در این مقاله سعی شده‌است تا نگاهی به انواع مختلف ضرب ماتریسی داشته باشیم.

ضرب معمولی ماتریس‌ها و درایه های آنها

ضرب معمولی ماتریس‌ها رایج‌ترین نوع ضرب در ماتریس‌هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می‌شود که تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب یک ماتریس mدرn در یک ماتریس n در p یک ماتریس m در p است، به همین صورت اگر لیستی از ماتریس‌ها برای ضرب را داشته باشیم که ابعاد مختلفی دارند (مانند mدرn , nدرp , pدرq , qدرr) بُعد ماتریس حاصل ضرب از تعداد سطرهای اولین ماتریس و تعداد ستون‌های آخرین ماتریس می‌آید (مثلاً در لیست ذکر شده در بالا بعد ماتریس حاصلضرب m در r خواهد بود). توجه به این نکته نیز لازم است که ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.

ضرب معمولی به این صورت تعریف می‌شود الگو:وسط‌چین $\overset{3 \times 4 matrix}{[\begin{matrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix}]} \overset{4 \times 5 matrix}{[\begin{matrix} \cdot & \cdot & \cdot & a & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & b & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & c & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & d & \cdot \end{matrix}]} = \overset{3 \times 5 matrix}{[\begin{matrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & x_{3, 4} & \cdot \end{matrix}]}$ الگو:پایان وسط‌چین که در آن درایه $x_{3, 4}$ برابر است با: الگو:وسط‌چین $x_{3, 4} = (1, 2, 3, 4) \cdot (a, b, c, d) = 1 \times a + 2 \times b + 3 \times c + 4 \times d$ . الگو:پایان وسط‌چین برای به یادسپاری این موضوع می‌توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که سطر اول در ستون اول درایه اول یا به صورت کلی‌تر سطر mم در ستون nم درایه mnم.

نمایش فرمولی

فرض کنید برای $A \in F^{m \times n}$ و $B \in F^{n \times p}$ در میدان $F$ که $(A B) \in F^{m \times p}$ ، درایه‌های AB به صورت زیر بدست می‌آیند:

الگو:وسط‌چین $(A B)_{i, j} = \sum_{r = 1}^{n} A_{i, r} B_{r, j}$ الگو:پایان وسط‌چین در اینجا i و j را اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم که $1 \leq j \leq p$ و $1 \leq i \leq m$ .

رابطه ضرب معمولی با ضرب داخلی و ضرب خارجی

ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریس‌ها هستند. ضرب دو بردار ستونی $A$ و $B$ به صورت $A \cdot B = A^{T} B$ می‌باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح‌تر: الگو:وسط‌چین

A \cdot B = A^{T} B = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} \end{matrix}] .

.

الگو:پایان وسط‌چین ضرب خارجی به صورت $A \otimes B = A B^{T}$ تعریف می‌شود که: الگو:وسط‌چین

A B^{T} = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \dots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \dots & a_{2} b_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \dots & a_{n} b_{n} \end{matrix}] .

الگو:پایان وسط‌چین ضرب ماتریس‌ها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت قطعه‌ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیهٔ ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می‌کنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم: الگو:وسط‌چین

𝐀 = [\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \dots & a_{m, n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ ⋮ \\ A_{m} \end{matrix}]

𝐁 = [\begin{matrix} b_{1, 1} & b_{1, 2} & \dots & b_{1, p} \\ b_{2, 1} & b_{2, 2} & \dots & b_{2, p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{n, 1} & b_{n, 2} & \dots & b_{n, p} \end{matrix}] = [\begin{matrix} B_{1} & B_{2} & \dots & B_{p} \end{matrix}]

الگو:پایان وسط‌چین که در اینجا $A_{i} = [\begin{matrix} a_{i, 1} & a_{i, 2} & \dots & a_{i, n} \end{matrix}]$ و $B_{i} = {[\begin{matrix} b_{1, i} & b_{2, i} & \dots & b_{n, i} \end{matrix}]}^{T} .$ می‌باشند.