ترانهاده

ماتریس ترانهاده

در جبر خطی ترانهاده الگو:به انگلیسی یک ماتریس مانند A ماتریس دیگری است که با نماد A^T (به شکل‌های دیگر A′، A^tr یا ^tA نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است: $[A{]}_{i\times j}=[A^T{]}_{j\times i}$

به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر؛

در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.

مثال‌ها

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right].$
• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right].$
• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right].$

خواص ترانهاد

برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند

• ${\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=𝐀$
• $(𝐀+𝐁{)}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{\mathrm{T}}+{𝐁}^{\mathrm{T}}$
• ${\left(𝐀𝐁\right)}^{\mathrm{T}}={𝐁}^{\mathrm{T}}{𝐀}^{\mathrm{T}}$
• ماتریس مربعی A وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر A^T وارون‌پذیر باشد
• $(c𝐀{)}^{\mathrm{T}}=c{𝐀}^{\mathrm{T}}$
• $\det ({𝐀}^{\mathrm{T}})=\det (𝐀)$
• ضرب داخلی دو ماتریس a و b می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.

$𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{\mathrm{T}}𝐛,$

الگو:پایان وسط‌چین که در نمادگذاری اینشتینa_i bⁱ نوشته می‌شود.

• $({𝐀}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=({𝐀}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$
• اگر A یک ماتریس مربعی باشد مقدار ویژه این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است.

ماتریس‌های خاص

ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀.$

الگو:پایان وسط‌چین ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد است که:

${𝐆𝐆}^{\mathrm{T}}={𝐆}^{\mathrm{T}}𝐆={𝐈}_n,$ &nbsp؛ که I ماتریس همانی است. G^T = G^-۱.

ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده می‌شود الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{\mathrm{T}}=-𝐀.$

الگو:پایان وسط‌چین همیوغ ترانهاده ماتریس A، به شکل A^*، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ آن. الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{*}=(\overline{𝐀}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{({𝐀}^{\mathrm{T}})}.$

جستارهای وابسته

• ماتریس وارون‌پذیر

پیوند به بیرون

• کلاس درس دانشگاه ام‌آی‌تی درباره جبر خطی
• ترانهاده، mathworld.wolfram.com
• ترانهاده الگو:Webarchive، planetmath.org