ماتریس وارون‌پذیر

در جبر خطی یک ماتریس مربعی $n\times n$ مانند A را وارون پذیر یا ناتکین الگو:به انگلیسی گویند، اگر ماتریسی مانند B یافت شود که: الگو:وسط‌چین

$𝐀𝐁=𝐁𝐀={𝐈}_n$

الگو:پایان وسط‌چین که I_n ماتریس همانی n×n است و منظور از AB ضرب ماتریسی است. اگر چنین باشد آنگاه می‌توان ماتریس B را یگانه وارون A خواند. وارون A با A⁻¹ نمایش داده می‌شود. بنا بر نظریهٔ ماتریس‌ها اگر: الگو:وسط‌چین

$𝐀𝐁=𝐈$

الگو:پایان وسط‌چین و اگر B و A ماتریس‌های مربعی باشند، آنگاه: الگو:وسط‌چین

$𝐁𝐀=𝐈$

الگو:پایان وسط‌چین ماتریس‌های غیر مربعی وارون ندارند.

روش‌های محاسبه ماتریس وارون

روش تحلیلی

نوشتن ترانهادهٔ کهاد یک ماتریس (که ماتریس الحاقی نامیده می‌شود) روشی مؤثر برای محاسبه معکوس ماتریس‌های کوچک است، اما برای ماتریس‌های بزرگ کاری دشوار است. برای این کار، ماتریسی از کهادهای ماتریس اصلی مورد استفاده قرار می‌گیرد: الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}𝐀\end{array}\right|}{𝐂}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}𝐀\end{array}\right|}\left(\begin{array}{cccc}{𝐂}_{11}& {𝐂}_{21}& \cdots & {𝐂}_{n1}\\ {𝐂}_{12}& {𝐂}_{22}& \cdots & {𝐂}_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {𝐂}_{1n}& {𝐂}_{2n}& \cdots & {𝐂}_{nn}\end{array}\right)$

الگو:پایان وسط‌چین در نتیجه الگو:وسط‌چین

${\left({𝐀}^{-1}\right)}_{ij}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}𝐀\end{array}\right|}{\left({𝐂}^{\mathrm{T}}\right)}_{ij}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}𝐀\end{array}\right|}\left({𝐂}_{ji}\right)$

الگو:پایان وسط‌چین که در آن |A| دترمینان C, A ماتریس کوفکتور (همسازه) و C^T نشان دهندهٔ ترانهاده ماتریس همسازه (ماتریس الحاقی) است.

وارون ماتریس ۲×۲

استفاده از فرمول کهاد که در بالا معرفی شد برای ماتریس ۲×۲ چنین نتیجه می‌دهد: الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$

الگو:پایان وسط‌چین روش کیلی-همیلتون می‌دهد: الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}[\mathrm{(}tr𝐀)I-𝐀].$

وارون ماتریس ۳×۳

وارون یک ماتریس ۳×۳ بدین صورت محاسبه می‌شود: الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}{\left[\begin{array}{ccc}A& B& C\\ D& E& F\\ G& H& I\end{array}\right]}^T=\frac{1}{\det (𝐀)}\left[\begin{array}{ccc}A& D& G\\ B& E& H\\ C& F& I\end{array}\right]$

الگو:پایان وسط‌چین که در آن دترمینان A چنین بدست می‌آید: الگو:وسط‌چین

$\det (𝐀)=a(ei-fh)-b(id-fg)+c(dh-eg).$

الگو:پایان وسط‌چین اگر دترمینان غیر صفر باشد، ماتریس وارون‌پذیر است. عناصر ماتریس سمت راست بالا از این قرار هستند: الگو:وسط‌چین

$\begin{array}{ccc}A=(ei-fh)& D=-(bi-ch)& G=(bf-ce)\\ B=-(di-fg)& E=(ai-cg)& H=-(af-cd)\\ C=(dh-eg)& F=-(ah-bg)& I=(ae-bd)\end{array}$

الگو:پایان وسط‌چین روش کیلی-همیلتون می‌دهد: الگو:وسط‌چین

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}[\frac{1}{2}((\mathrm{t}\mathrm{r}𝐀{)}^2-\mathrm{t}\mathrm{r}{𝐀}^2)I-𝐀\mathrm{t}\mathrm{r}𝐀+{𝐀}^2].$الگو:سخ