کهاد

الگو:بدون منبع اگر A یک ماتریس مربعی باشد، ماتریسی مربعی و کوچکتری که از حذف یک یا چند سطر و ستون A بدست می‌آید را کِهاد ماتریس A می‌نامند. اگر فقط سطر iام و ستون jام از ماتریس A حذف شود و آنگاه کِهاد مرتبه اول iام و jام به دست می‌آید. اگر دو سطر و دو ستون حذف گردد کِهادهای مرتبه دوم حاصل خواهد شد. منظور از کِهاد معمولاً کهادِ مرتبه اول است.

از کِهاد (به انگلیسی: minor) برای محاسبه همسازه یا کوفکتور (cofactor) ماتریس استفاده می‌شود که آن هم به نوبه خود برای محاسبه دترمینان و معکوس یک ماتریس کاربرد دارد.

تعریف و نمایش

کهاد مرتبهٔ اول

اگر $A$یک ماتریس مربعی باشد آنگاه کِهاد درایهٔ سطر$i$ام و ستون $j$ام (که $M_{i,j}$یا کِهادِ اوّل نامیده می‌شود) با گرفتنِ دترمینانِ ماتریسی که با حذف ردیف $i$ام و سطر $j$ام بدست می‌آید، ساخته و معمولاً با $M_{i,j}$نمایش داده می‌شود.

کوفکتور $ij$ام، با ضرب کِهادِ $ij$ام در $(-1{)}^{i+j}$، بدست می‌آید. برای درک بیشتر، به مثال زیر برای یک ماتریس ۳ در ۳، توجه کنید:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 3& 0& 5\\ -1& 9& 11\end{array}\right]$

برای محاسبهٔ کِهاد $M_{2,3}$و کوفَکتورِ $M_{2,3}$، باید دترمینانِ ماتریس بالا را، با حذف ردیف ۲ و ستون ۳، بدست آوریم.

$M_{2,3}=\det \left[\begin{array}{ccc}1& 4& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ -1& 9& ◻\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 9\end{array}\right]=(9-(-4))=13$

در نتیجه، کوفکتورِ (۲٬۳) می‌شود:

اگر جمع جبری توان(i + j) زوج باشد حاصل C مثبت و اگر فرد باشد مقدار C منفی است

$C_{2,3}=(-1{)}^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

پیوند به بیرون

• آموزش ویدئویی همسازه و کهاد ماتریس
• دترمینان، کهاد، همسازه و ماتریس