قاعده خارج‌قسمت

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال قاعدهٔ خارج‌قسمت یکی از قواعد مشتق‌گیری در مبحث دیفرانسیل و انتگرال می‌باشد که به صورت زیر اعلام می‌شود. اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}$

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

که برای نقطهٔ a چنین می‌شود:

$f^{\prime }(a)=\frac{g^{\prime }(a)h(a)-g(a)h^{\prime }(a)}{[h(a){]}^2}.$

همچنین طبق این قاعده برای مشتق مرتبه سوم می‌توان اینگونه عمل کرد:

$f^{″}(x)=\frac{g^{″}(x)[h(x){]}^2-2g^{\prime }(x)h(x)h^{\prime }(x)+g(x)[2[h^{\prime }(x){]}^2-h(x)h^{″}(x)]}{[h(x){]}^3}.$

اثبات

این روش به سادگی از قاعده ضرب و قاعده زنجیری حاصل می‌شود.

اگر قرار دهیم $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

آنگاه $g(x)=f(x)h(x)$

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)h(x)+f(x)h^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)-f(x)h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{g^{\prime }(x)-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)}{h(x)}$

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{(h(x))}^2}$

مثال

اگر بخواهیم مشتق عبارت $(4x-2)/(x^2+1)$ را بگیریم، داریم:

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^2+1$

پس طبق این قاعده مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x-2)}{x^2+1}\right]& =\frac{(4)(x^2+1)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}\end{array}$

جستارهای وابسته

• مشتق
• حد