لگاریتم

نمودار لگاریتم در پایهٔ ۲ که محور xها (محور افقی) را در نقطهٔ ۱ قطع می‌کند، بالا می‌رود و به ترتیب از نقطه‌های (۲٬۱) و (۴٬۲) و (۸٬۳) عبور می‌کند. به ازای اعداد نزدیک صفر، منحنی لگاریتم به محور عمودی y بسیار نزدیک می‌شود ولی هرگز با آن مماس نمی‌شود یا آن را قطع نمی‌کند.

لُگاریتم الگو:به انگلیسی یک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = b^y باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت ${\log }_b(x)=y$ نمایش می‌دهیم. مانند: ${\log }_{10}(1000)=3.$

لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان‌تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند: الگو:چپ‌چین

${\log }_a(xy)={\log }_a(x)+{\log }_a(y).$

${\log }_2(32)={\log }_2(4)+{\log }_2(8).$

الگو:پایان چپ‌چین مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های لئونارد اویلر در قرن ۱۸ گرفته شده‌است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دهد.

لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را لگاریتم اعشاری می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. لگاریتم در مبنای ثابت e یا عدد نپر ≈ ۲٫۷۱۸ را لگاریتم طبیعی می‌نامند. این لگاریتم در ریاضیات محض به ویژه حساب دیفرانسیل و انتگرال بسیار کاربرد دارد. لگاریتم دو دویی نیز در مبنای ۲ نوشته می‌شود و کاربرد زیادی در علوم رایانه دارد.

به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه دسی‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دادن میزان اسیدی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخالها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کردهمچنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود.

تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع نمایی به کار رفته در اعداد مختلط است. لگاریتم گسسته نیز در رمزنگاری کلید عمومی استفاده می‌شود.

انگیزهٔ اولیه و تعریف

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان بوده‌است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲^۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود.

به توان رساندن

توان سوم عددی مانند b برابر است با ۳ بار ضرب b در خودش. حال اگر b به توان یک عدد طبیعی مانند n برسد به معنی n بار ضرب کردن b در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم الگو:چپ‌چین

$b^n=\underset{n\text{ factors}}{\underbrace{b\times b\times \cdots \times b}}.$

الگو:پایان چپ‌چین در صورتی که n عدد طبیعی نباشد، آنگاه bⁿ جواب دیگری خواهد داشت. مانند ۱- که b^-۱ برابر معکوس b است. برای جزئیات بیشتر، شامل فرمول الگو:Nowrap توان را ببینید یا یک رساله مقدماتی.

تعریف

لگاریتم عددی مانند y در پایهٔ b عبارت است از یافتن عددی که اگر b به توان آن عدد برسد برابر با y شود. به عبارت دیگر جواب x معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم y در پایهٔ b خواهد بود. الگو:چپ‌چین

$b^x=y.$

الگو:پایان چپ‌چین پایهٔ b باید یک عدد حقیقی مثبت و نامساوی ۱ باشد و y نیز باید یک عدد مثبت باشد.

$b^x=y.$

چند نمونه

نمونهٔ یکم

برای نمونه ۴ = (۱۶) log_۲ چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲^۴

نمونهٔ دوم

برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند: الگو:چپ‌چین

${\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1,$

الگو:پایان چپ‌چین چون الگو:چپ‌چین

$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}.$

نمونهٔ سوم

(۱۵۰) log_۱۰ تقریباً برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰^۲ و ۱۰۰۰ = ۱۰^۳ همچنین در هر پایه‌ای ${\log }_b(b)=1$ و ${\log }_b(1)=0$ چون به ترتیب: $b^1=b$ و $b^0=1$ است.

قوانین لگاریتم

الگو:نوشتار اصلی رابطه‌های مختلفی به عنوان قوانین لگاریتم وجود دارند که می‌توانند میان فرمول‌های لگاریتمی رابطه برقرار کنند.

ضرب، تقسیم، توان، ریشه

لگاریتم حاصل ضرب چند عدد برابر است با مجموع لگاریتم‌های تک تک آن عددها. لگاریتم نسبت دو عدد (تقسیم) برابر است با تفاضل لگاریتم آن دو عدد. لگاریتم توان p ام یک عدد برابر است با p برابر لگاریتم آن عدد. لگاریتم ریشهٔ p ام یک عدد برابر است با لگاریتم آن عدد تقسیم بر p. جدول زیر قوانین لگاریتم را همراه با یک نمونه نشان داده‌است: الگو:وسط‌چین

	رابطه	نمونه
ضرب	${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	${\log }_3(243)={\log }_3(9\times 27)={\log }_3(9)+{\log }_3(27)=2+3=5$
تقسیم	${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	${\log }_2(16)={\log }_2\left(\frac{64}{4}\right)={\log }_2(64)-{\log }_2(4)=6-2=4$
توان	${\log }_b(x^p)=p{\log }_b(x)$	${\log }_2(64)={\log }_2(2^6)=6{\log }_2(2)=6$
ریشه	${\log }_b\sqrt[p]{x}=\frac{{\log }_b(x)}{p}$	${\log }_{10}\sqrt{1000}=\frac{1}{2}{\log }_{10}1000=\frac{3}{2}=1.5$

تغییر پایه

می‌توان ${\log }_b(x)$ را به صورت غیرمستقیم با گرفتن لگاریتم x و b در یک پایهٔ دلخواه مانند k بدست آورد، به این ترتیب که: الگو:چپ‌چین

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_k(x)}{{\log }_k(b)}.$

الگو:پایان چپ‌چین بیشتر ماشین حساب‌هایی که در دسترس اند لگاریتم را تنها در مبنای ۱۰ و عدد نپر محاسبه می‌کنند و لگاریتم در پایه‌های دیگر را به کمک رابطهٔ بالا محاسبه می‌کنند:: الگو:چپ‌چین

${\log }_b(x)=\frac{{\log }_{10}(x)}{{\log }_{10}(b)}=\frac{{\log }_e(x)}{{\log }_e(b)}.$

همچنین اگر عددی مانند x و مقدار لگاریتم آن را در یک مبنای نامشخص b داشته باشیم ${\log }_b(x)$ حال می‌توان مبنای نامشخص b را به ترتیب زیر محاسبه کرد: الگو:چپ‌چین

$b=x^{\frac{1}{{\log }_b(x)}}.$

۳ ویژگی مهم لگاریتم

1. الگو:چپ‌چین

${\log }_{a}a=1$

1. الگو:چپ‌چین

${\log }_{a}1=0$

1. الگو:چپ‌چین

${\log }_a\frac{1}{a}=-1$

پایه‌های ویژه

پایه‌های ویژهٔ لگاریتم عبارتند از ۱۰، ۲ و عدد e (عدد گنگی تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸) در آنالیز ریاضی لگاریتم در پایهٔ عدد e بسیار کاربرد دارد، لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان بوسیلهٔ ماشین حساب‌های دستی که در اختیار است به آسانی محاسبه کرد: الگو:چپ‌چین

${\log }_{10}(10x)={\log }_{10}(10)+{\log }_{10}(x)=1+{\log }_{10}(x).$

الگو:پایان چپ‌چین لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان به آسانی با شمردن تعداد رقمهای یک عدد بدست آورد. برای نمونه (۱۴۳۰) log_۱۰ تقریباً برابر است با ۳٫۱۵ چون ۱۴۳۰ چهار رقم دارد پس لگاریتم آن در پایهٔ ۱۰ باید عددی میان ۳ و ۴ باشد. لگاریتم در پایهٔ ۲ در علوم رایانه مورد استفاده قرار می‌گیرد چون در آن از دستگاه اعداد دودویی استفاده می‌شود.

جدولی که در ادامه قرار داده شده‌است علامت‌هایی که برای نشان دادن تابع لگاریتم کاربرد دارند و جایی که هر نوع لگاریتم مورد استفاده قرار می‌گیرد را نشان داده‌است. در بسیاری موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایهٔ آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی سازمان بین‌المللی استانداردسازی داده شده‌است. (ISO ۳۱–۱۱)

پایهٔ b	نام گونهٔ لگاریتم	ISO نماد در	دیگر نمادها	کاربرد
۲	لگاریتم دودویی یا لگاریتم باینری	lb(x)	الگو:عبارت چپچینالگو:سخ(در علوم رایانه)، الگو:عبارت چپچین	علوم رایانه: این لگاریتم پیشفرض در پایه ۲ بوده و در طراحی نرم‌افزار به‌ویژه بانک‌های اطلاعاتی مانند محاسبات آی‌پی۴ و ۶ و غیره کاربردهای بسیاری دارد، همچنین سخت‌افزار، نظریهٔ اطلاعات
e	لگاریتم طبیعی	ln(x) نماد توسط اروینگ استرینگهام، ریاضی‌دان آمریکایی اختراع شد.	الگو:عبارت چپچینالگو:سخ(در ریاضی و بسیاری از زبان‌های برنامه‌نویسی)	آنالیز ریاضی، فیزیک، شیمیالگو:سخآمار، علم اقتصاد، و بعضی از زمینه‌های مهندسی
۱۰	لگاریتم اعشاری	الگو:عبارت چپچین	الگو:عبارت چپچینالگو:سخ(در مهندسی، زیست‌شناسی، اخترشناسی),	در زمینه‌های گوناگون مهندسی (مانند دسی‌بل)،الگو:سختهیه جدول لگاریتم و ماشین حساب‌های مهندسی

پیشینه

پیشینیان

ویراسنا، ریاضی‌دان هندی از کسانی بود که با مفهومی به نام ardhaccheda کار کرد. ardhaccheda یعنی تعداد دفعاتی که می‌توان ۲ⁿ را نصف کرد. برای نمونه برای توان‌های دقیق ۲ این کار برابر با لگاریتم گرفتن در مبنای ۲ بود؛ وی همچنین لگاریتم در پایهٔ دیگر اعداد صحیح مانند لگاریتم در پایهٔ ۳ (trakacheda) و در پایهٔ ۴ (caturthacheda) را نیز معرفی کرد. مایکل استیفل در سال ۱۵۴۴ میلادی در نورنبرگ Arithmetica integra را منتشر کرد، در این نوشته جدولی از اعداد صحیح و توان‌های ۲ داده شده بود، این جدول به عنوان نسخهٔ اولیهٔ جدول لگاریتم شمرده می‌شود.

از نپر تا اویلر

جان نپر (۱۶۱۷–۱۵۵۰) بدست آورندهٔ روش لگاریتم‌گیری

روش لگاریتم‌گیری در سال ۱۶۱۴ از سوی جان نپر در کتابی با عنوان Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد. همچنین ژو بورجی الگو:به فرانسوی نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد.

نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت $10^7{(1-10^{-7})}^L$ را به ازای Lهای میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = L تقریباً برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - ^۵-۱۰ و ^۲۰ ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد N در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد L را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند: الگو:چپ‌چین

$N=10^7{(1-10^{-7})}^L.$

الگو:پایان چپ‌چین نپر ابتدا نام «عدد ساختگی» را بر L نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «لگاریتم» logarithm را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ λόγος برابر logos به معنی «نسبت» است و واژهٔ ἀριθμός برابر arithmos به معنی «عدد» است. بوسیلهٔ عبارت زیر می‌توان مفهوم پیشین لگاریتم را با مفهوم امروزی لگاریتم طبیعی مرتبط کرد: الگو:چپ‌چین

$L={\log }_{(1-10^{-7})}\left(\frac{N}{10^7}\right)\approx 10^7{\log }_{\frac{1}{e}}\left(\frac{N}{10^7}\right)=-10^7{\log }_e\left(\frac{N}{10^7}\right),$

الگو:پایان چپ‌چین با تقریب خوبی داریم: الگو:وسط‌چین

${(1-10^{-7})}^{10^7}\approx \frac{1}{e}.$

الگو:پایان این دست‌آورد خیلی زود مورد تحسین گستردهٔ دیگران قرار گرفت، به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون بوناونتورا کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) از ایتالیا، ادموند ونگت (Edmund Wingate) از فرانسه، زو فنگزوئو (Xue Fengzuo) از چین و… مفهوم لگاریتم همه جا فراگیر شد.

هذلولی الگو:Nowrap (منحنی قرمز) و سطح زیر آن از x = ۱ تا ۶ (قسمت نارنجی رنگ).

در سال ۱۶۴۷ گرگوآر دو سن-ونسان توانست مفهوم لگاریتم را با یک چهارم هذلولی مرتبط کند، با فرض آنکه سطح $f(t)$ زیر منحنی هذلولی به ازای ۱ = x تا t در رابطهٔ زیر صدق می‌کند: الگو:چپ‌چین

$f(tu)=f(t)+f(u).$

الگو:پایان چپ‌چین لگاریتم طبیعی اولین بار از سوی نیکولاس مرکاتور در مقالهٔ Logarithmotechnia که در سال ۱۶۶۸ منتشر کرد، توضیح داده شد. البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود. در حدود سال ۱۷۳۰ لئونارد اویلر تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونهٔ زیر تعریف کرد: الگو:چپ‌چین

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+x/n{)}^n,$

$\ln (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(x^{1/n}-1).$

الگو:پایان چپ‌چین همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند.

جدول لگاریتم، خط‌کش لغزان و کاربردها در گذشته

متن سال ۱۷۹۷ دانشنامهٔ بریتانیکا در بارهٔ لگاریتم.

با ساده‌سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند اخترشناسی، نقشه‌برداری، هوانوردی و… کمک گرفت. پیر سیمون لاپلاس دربارهٔ لگاریتم گفته‌است: الگو:نقل قول

وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبهٔ لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، جدول لگاریتم بود. چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار ${\log }_b(x)$ و $b^x$ برای هر عدد x در یک بازهٔ مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایهٔ ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آنجایی که تابع $b^x$ وارون ${\log }_b(x)$ است به آن پادلگاریتم الگو:به انگلیسی می‌گویند. لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیلهٔ تابع پادلگاریتم یا خود جدول بدست آورد: الگو:چپ‌چین

$cd=b^{{\log }_b(c)}{b}^{{\log }_b(d)}=b^{{\log }_b(c)+{\log }_b(d)}$

الگو:پایان چپ‌چین و الگو:چپ‌چین

$\frac{c}{d}=c{d}^{-1}=b^{{\log }_b(c)-{\log }_b(d)}.$

الگو:پایان چپ‌چین زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان‌تر از روش‌های ساده‌سازی مانند روش Prosthaphaeresis است. روش یاد شده بر پایهٔ اتحادهای مثلثاتی است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است: الگو:چپ‌چین

$c^d=b^{d{\log }_b(c)}$

الگو:پایان چپ‌چین و الگو:چپ‌چین

$\sqrt[d]{c}=c^{\frac{1}{d}}=b^{\frac{1}{d}{\log }_b(c)}.$

الگو:پایان چپ‌چین در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبهٔ لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند مانند نمونهٔ زیر: الگو:چپ‌چین

${\log }_{10}(3542)={\log }_{10}(10\times 354.2)=1+{\log }_{10}(354.2)\approx 1+{\log }_{10}(354).$

الگو:پایان چپ‌چین وسیلهٔ دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، خط‌کش لغزان بود.

شکل عمومی خط‌کش لغزان، در لبهٔ پایینی به لگاریتم ۲ می‌رسیم و با اضافه کردن فاصله از لبهٔ بالایی، لگاریتم ۳ به حاصل ضرب یعنی لگاریتم ۶ می‌رسیم. این خط‌کش‌ها چنان درجه‌بندی شده‌اند که گویی فاصلهٔ ۱ تا x ضریبی از لگاریتم x است. برای نمونه برای لگاریتم ۶، فاصله از لگاریتم ۱ (یعنی صفر) تا ۲ روی لبهٔ پایینی با فاصله از لگاریتم ۱ تا ۳ روی لبهٔ بالایی با هم جمع شد تا فاصله از لگاریتم ۱ تا ۶ را نتیجه دهد.

مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، ادموند گونتر خط‌کشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او ویلیام اوترد روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خط‌کش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبهٔ خط‌کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خط‌کش وسیلهٔ محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد.

ویژگی‌های ریاضی

مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم تابع است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند. مانند تابع توان x ام عدد حقیقی b که به صورت زیر نوشته می‌شود: الگو:چپ‌چین

$f(x)=b^x.$

تابع لگاریتم

برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر: الگو:وسط‌چین

$b^x=y$

الگو:پایان دارای راه حل و جواب یکتای x است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و b بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از قضیهٔ مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار m و n را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم. می‌توان نشان داد که در تابع $f(x)=b^x$ نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y> ۰ که میان دو مقدار $f(x_0)$ و $f(x_1)$ به ازای x_۰ و x_۱ قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک x پیدا کرد که $f(x)=y$ باشد؛ بنابراین برای معادلهٔ $y=b^x$ یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b> ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است.

جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم y در پایهٔ b است.

قرینه تابع لگاریتمی

اگر قرینه تابع $y=lo{g}_{2}x$ برابر با $y=lo{g}_2-x$ باشد نسبت به محور yها قرینه هم هستند.

اگر قرینه تابع $y=lo{g}_{2}x$ برابر با $y=-lo{g}_{2}x$ باشد نسبت به محور xها قرینه هم هستند.

تابع وارون

خم تابع لگاریتم (آبی) و خم تابع توانی (قرمز)

لگاریتم تابع توانی برای هر عدد x به صورت زیر نوشته می‌شود: الگو:چپ‌چین

${\log }_b\left(b^x\right)=x{\log }_b(b)=x.$

الگو:پایان چپ‌چین اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو b باشد جواب نهایی رابطهٔ بالا قطعاً خود x خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت y را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود: الگو:چپ‌چین

$b^{{\log }_b(y)}=y$

الگو:پایان چپ‌چین بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ b تابع وارون الگو:Nowrap است.

دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع ${\log }_b(x)$ اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای b> ۱ به سمت مثبت بی‌نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع ${\log }_b(x)$ اکیداً صعودی است. به ازای b <۱ اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت رود، مقدار تابع ${\log }_b(x)$ به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود. وقتی x به سمت صفر می‌رود مقدار تابع ${\log }_b(x)$ برای b> ۱ به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود و برای b <۱ به سمت مثبت بی‌نهایت می‌رود.

مشتق و پادمشتق

خم تابع لگاریتم طبیعی (سبز) و خط مماس با آن در نقطهٔ الگو:Nowrap (سیاه)

ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد. پس چون الگو:Nowrap beginf(x) = b^xالگو:Nowrap end یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که $lo{g}_b(y)$ نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطهٔ تیزی (نقطهٔ شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که مشتق $f(x)$ برابر با $ln(b)b^x$ است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعدهٔ زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق $lo{g}_b(x)$ برابر است با: الگو:چپ‌چین

$\frac{d}{dx}{\log }_b(x)=\frac{1}{x\ln (b)}.$

الگو:پایان چپ‌چین که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم $lo{g}_b(x)$ است که برابر است با $\frac{1}{xln(b)}$. همچنین مشتق $ln(x)$ برابر با $\frac{1}{x}$ است که به این معنی است که پادمشتق $\frac{1}{x}$ همان $ln(x)+C$ است. اگر به جای x حالت کلی $fx$ را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\frac{d}{dx}\ln (f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.$

الگو:پایان چپ‌چین گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع f از $ln(f(x))$ استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند. پادمشتق لگاریتم طبیعی $ln(x)$ برابر است با: الگو:چپ‌چین

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C.$

الگو:پایان چپ‌چین رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید.

بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی t برابر است با انتگرال $\frac{1}{x}dx$ از ۱ تا t: الگو:چپ‌چین

$\ln (t)=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

الگو:پایان چپ‌چین به عبارت دیگر $ln(t)$ برابر است با سطح میان محور xها و نمودار تابع $\frac{1}{x}$ از ۱ = x تا $x=t$ (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج قضیهٔ اساسی حسابان و اینکه مشتق $\ln (x)$، $\frac{1}{x}$ است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت. برای نمونه $\ln (tu)=\ln (t)+\ln (u)$ را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت: الگو:چپ‌چین

$\ln (tu)=\underset{1}{\overset{tu}{\int }}\frac{1}{x}dx\stackrel{(1)}{=}\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{t}{\overset{tu}{\int }}\frac{1}{x}dx\stackrel{(2)}{=}\ln (t)+\underset{1}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{w}dw=\ln (t)+\ln (u).$

الگو:پایان چپ‌چین بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد ($w=x/t$). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان‌طور که خم در جهت x کشیده شده (t برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال f(x) = ۱/x از ۱ تا u است با سطح زیر آن از t تا tu برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که $\ln (tu)$ یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع $\ln (t)$ و $\ln (u)$ (سطح زرد و آبی)

اثبات نموداری رابطهٔ ضرب در لگاریتم طبیعی.

رابطهٔ توان $\ln (t^r)=r\ln (t)$ را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد: الگو:چپ‌چین

$\ln (t^r)=\underset{1}{\overset{t^r}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{w^r}\left(r{w}^{r-1}dw\right)=r\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{w}dw=r\ln (t).$

الگو:پایان چپ‌چین در تساوی دوم تغییر متغیر $w=x^{\frac{1}{r}}$ را داریم.

مجموع وارون‌های اعداد طبیعی: الگو:چپ‌چین

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

الگو:پایان چپ‌چین که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه n به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر: الگو:چپ‌چین

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n),$

الگو:پایان چپ‌چین به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند مرتب‌سازی سریع کمک می‌کند.

محاسبه

در بعضی موارد مانند ۳ = (۱۰۰۰) log_۱۰ محاسبهٔ لگاریتم بسیار آسان است. در حالت کلی لگاریتم را به کمک سری‌های توانی یا ابزارهای محاسباتی-هندسی یا به کمک بازیابی جدول لگاریتم که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند. همچنین برای محاسبهٔ $lb(x)$ می‌توان از الگوریتم لگاریتم‌های دودویی که به صورت بازگشتی و بر پایهٔ مربع‌های پشت هم از x عمل می‌کند استفاده کرد: الگو:چپ‌چین

${\log }_2(x^2)=2{\log }_2(x).$

الگو:پایان چپ‌چین روش تقریبی نیوتن که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است. در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و اعداد پایهٔ دو باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول CORDIC یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبهٔ لگاریتم پیدا کرد.

سری‌های توانی

سری تیلور

سری تیلور. این پویانمایی مقدار سری تیلور را به ازای ۱۰ جملهٔ اول سپس جمله‌های ۹۹ و ۱۰۰ نشان داده‌است.

برای هر عدد حقیقی z که میان کوچکتر از ۲ و بزرگتر از صفر است رابطهٔ زیر برقرار است: الگو:چپ‌چین

$\ln (z)=(z-1)-\frac{(z-1{)}^2}{2}+\frac{(z-1{)}^3}{3}-\frac{(z-1{)}^4}{4}+\cdots$

الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از روابط زیر $\ln (z)$ را می‌توان دقیق‌تر بدست آورد: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{ccc}(z-1)& & \\ (z-1)& -& \frac{(z-1{)}^2}{2}& \\ (z-1)& -& \frac{(z-1{)}^2}{2}& +& \frac{(z-1{)}^3}{3}\\ ⋮& \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین برای نمونه، تقریب سوم به ازای z = ۱٫۵ نتیجه برابر با ۰٫۴۱۶۷ خواهد بود که تقریباً ۰٫۱۱ بیشتر از ۰٫۴۰۵۴۶۵ = (۱٫۵) ln است. در حساب دیفرانسیل غیر پیشرفته، $\ln (z)$ را به عنوان حد این نوع سری‌ها در نظر می‌گیرند؛ که به آن بسط تیلور لگاریتم طبیعی به ازای z = ۱ می‌گویند.

دیگر سری‌های پرکاربرد

سری دیگر برپایهٔ تابع وارون تانژانت هذلولوی (وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد مختلط z با بخش حقیقی مثبت است که به صورت زیر نوشته می‌شود: الگو:چپ‌چین

$\ln (z)=2\cdot \mathrm{artanh}\frac{z-1}{z+1}=2(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5+\cdots ),$

الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از مفهوم جمع (سیگما) می‌توان این سری را به گونهٔ دیگری نوشت: الگو:چپ‌چین

$\ln (z)=2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^{2n+1}.$

الگو:پایان چپ‌چین این سری از سری تیلور که در بالا گفته شد گرفته می‌شود ولی خیلی زودتر از تیلور همگرا می‌شود. به ویژه زمانی که z عددی نزدیک ۱ باشد. برای نمونه برای z = ۱٫۵ سه جملهٔ اول سری دوم با خطایی برابر با ^۶-۱۰ × ۳ تقریباً می‌توان گفت تقریباً برابر با (۱٫۵)ln است. اینکه به ازای zهای نزدیک به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک رابطهٔ زیر نشان داد:

فرض کنید تقریباً $y\approx \ln z$ و رابطهٔ زیر را نیز داریم: الگو:چپ‌چین

$A=\frac{z}{\exp (y)},$

الگو:پایان چپ‌چین می‌توان از دو سوی رابطهٔ بالا لگاریتم گرفت: الگو:چپ‌چین

$\ln (z)=y+\ln (A)$

الگو:پایان چپ‌چین هرچه مقدار لگاریتم z دقیق‌تر باشد باید $\ln (A)$ به صفر نزدیک تر باشد در نتیجه A به ۱ نزدیک‌تر است. مقدار A به کمک سری‌های نمایی محاسبه می‌شود که این سری‌ها، اگر y بزرگ نباشد، خیلی زود همگرا می‌گردند.

برای آسان‌تر کردن محاسبهٔ $\ln (z)$ می‌توان آن را به مقدارهای کوچکتر خُرد کرد به این ترتیب که بگوییم a × 10^b = z و لگاریتم آن را به صورت $\ln (z)=\ln (a)+b.\ln (10)$ بنویسیم.

از روش مشابهی می‌توان استفاده کرد تا به کمک آن لگاریتم اعداد صحیح را بدست آورد: الگو:چپ‌چین

$\ln (n+1)=\ln (n)+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^{2k+1}.$

الگو:پایان چپ‌چین اگر لگاریتم عدد بزرگ n معلوم باشد، می‌توان لگاریتم n + ۱ را با همگرایی سریع سری بالا بدست آورد.

میانگین حسابی-هندسی

با کمک میانگین حسابی-هندسی می‌توان با دقت خوبی لگاریتم طبیعی عددی مانند x را بدست آورد. میزان تقریب آن برابر با $2^{-p}$ است. این رابطه از سوی ریاضیدان آلمانی کارل فریدریش گاوس پیشنهاد شد. الگو:چپ‌چین

$\ln (x)\approx \frac{\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}-m\ln (2).$

الگو:پایان چپ‌چین در اینجا M نماد میانگین حسابی-هندسی است که از تکرار محاسبهٔ میانگین حسابی و ریشهٔ دوم ضرب دو عدد (میانگین هندسی) بدست می‌آید. همچنین m از راه انتخابی مانند زیر بدست می‌آید: الگو:چپ‌چین

$x{2}^m>2^{p/2}.$

الگو:پایان چپ‌چین هم میانگین حسابی-هندسی و هم ثابت‌های π و (۲)ln به کمک سری‌هایی که زود همگرا می‌شوند قابل محاسبه‌اند.

کاربرد

یک مارپیچ لگاریتمی در پوستهٔ بدن آبزی ناتیلوس.

مفهوم لگاریتم کاربردهای زیادی در بیرون و درون دنیای ریاضی دارد. برخی از پیشامدهای لگاریتم در طبیعت، بیشتر به مفهوم نامتغیر مقیاس مرتبط است. برای نمونه هر خانهٔ پوستهٔ بدن آبزی ناتیلوس تقریباً رونوشتی از خانهٔ کناری آن است که با یک ضریب ثابت مقیاس یافته‌است و یک مارپیچ لگاریتمی را ساخته‌است. قانون بنفورد در توزیع شمارگان (رقم‌ها) را هم می‌توان با مفهوم نامتغیر مقیاس توضیح داد. همچنین مفهوم لگاریتم به بحث خودهمانندی هم مرتبط است. برای نمونه پردازش لگاریتمی کمک می‌کند تا برای حل یک مسئله، نخست آن را به دو مسئلهٔ همانند کوچکتر بخش کنیم سپس جواب دو بخش را به هم پیوند دهیم. شکل‌های هندسی خودهمانند که در آن‌ها بخش‌هایی از شکل متناسب با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. مقیاس لگاریتمی مقیاسی بسیار پرکاربردی برای بررسی کمّی تغییرات پدید آمده در مقدار اصلی است. افزون بر این چون تابع الگو:عبارت چپچین رشد بسیار کندی دارد به ویژه برای xهای بزرگ می‌توان داده‌های علمی در بازه‌های بزرگ را به خوبی فشرده کرد. همچنین پیش می‌آید که در بسیاری از فرمول‌های علمی مانند معادلهٔ فنسک، معادلهٔ نرنست و… از ویژگی‌های لگاریتم بهره برد.

مقیاس لگاریتمی

الگو:نوشتار اصلی کمیت‌های علمی بیشتر به صورت لگاریتم کمیت‌های دیگر ارائه می‌شوند به عبارت دیگر برای نشان دادن آن‌ها از مقیاس لگاریتمی بهره برده می‌شود، برای نمونه دسی‌بل چنین است. برای نشان دادن تراز توان صداها در صداشناسی یا جذب نور در میدان طیف‌سنجی و نورشناسی یا در بیان نسبت سیگنال به نویز و توضیح میزان صداهای نامطلوب به سیگنال‌های بامعنی به دسی‌بل نیاز است. همانند آنچه گفته شد، نسبت سیگنال بالایی به نویز برای ارزیابی کیفیت صدا یا فشرده‌سازی تصویر بسیار کاربرد دارد که در آن هم از لگاریتم بهره برده می‌شود.

لگاریتم با مفهوم ارتفاع و فاصله در موسیقی هم مرتبط است. در سامانهٔ ارتفاع‌هایی که همهٔ جفت نت‌ها، نسبت بسامد برابر دارند، نسبت بسامد تنها به فاصلهٔ میان دو ارتفاع بستگی دارد و نه به آن بسامد ویژه یا ارتفاع هر یک عدد نت. برای نمونه: نت لا بسامد ۴۴۰ هرتزی دارد و نت سی بمل نیز دارای بسامد ۴۶۶ هرتز است.

فاصله میان این دو نت یک نیم ارتفاع نام دارد. همچنان که میان نت سی بمل و نت سی با بسامد ۴۹۳ هرتز هم همین‌طور است. برپایهٔ آنچه گفته شد نسبت این بسامدها به صورت زیر است:

$\frac{466}{440}\approx \frac{493}{466}\approx 1.059\approx \sqrt[12]{2}.$

از این رو می‌توان از لگاریتم برای توضیح فاصله‌ها بهره برد: یک فاصله در نیم-ارتفاع با گرفتن لگاریتم نسبت بسامد در پایهٔ الگو:عبارت چپچین یا در پایهٔ ۲^۱/۱۲۰۰ اندازه‌گیری می‌شود. پایه دوم برای توصیف دقیق‌تر به کار می‌رود چرا که از آن برای temperamentهای نامساوی بهره گرفته می‌شود.

فاصلهالگو:سخ(دو ارتفاعی که هم‌زمان نواخته می‌شوند)	ارتفاع ۱/۱۲ الگو:Audio	نیم-ارتفاع الگو:Audio	سوم بزرگ میانه الگو:Audio	سوم بزرگ الگو:Audio	ارتفاع سگان الگو:Audio	هشتگان الگو:Audio
نسبت بسامد r	$2^{\frac{1}{72}}\approx 1.0097$	$2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0595$	$\frac{5}{4}=1.25$	$\begin{array}{cc}{2}^{\frac{4}{12}}& =\sqrt[3]{2}\\ & \approx 1.2599\end{array}$	$\begin{array}{cc}{2}^{\frac{6}{12}}& =\sqrt{2}\\ & \approx 1.4142\end{array}$	$2^{\frac{12}{12}}=2$
شمارهٔ نیم-ارتفاع‌های متناظرالگو:سخ${\log }_{\sqrt[12]{2}}(r)=12{\log }_2(r)$	$\frac{1}{6}$	$1$	$\approx 3.8631$	$4$	$6$	$12$
تعداد سنت‌های مرتبطالگو:سخ${\log }_{\sqrt[1200]{2}}(r)=1200{\log }_2(r)$	$16\frac{2}{3}$	$100$	$\approx 386.31$	$400$	$600$	$1200$

نظریهٔ اعداد

لگاریتم طبیعی ارتباط نزدیکی با شمارش اعداد اول دارد. این مطلب موضوعی مهم در نظریهٔ اعداد است. برای هر عدد صحیح x شمار عددهای اول کوچکتر یا مساوی x را با الگو:عبارت چپچین نمایش می‌دهند. نظریهٔ اعداد اول می‌گوید که الگو:عبارت چپچین تقریباً برابر است با:

$\frac{x}{\ln (x)},$

با در نظر گرفتن این مطلب که برای xهایی که به بی‌نهایت می‌رود نسبت الگو:عبارت چپچین به کسر بالایی به یک نزدیک می‌شود. از این مطلب می‌توان نتیجه گرفت که احتمال اول بودن یک عدد دلخواه میان یک و x با وارون تعداد رقم‌های دهدهی x متناسب است. یک برآورد خیلی بهتر الگو:عبارت چپچین با کمک انتگرال لگاریتمی زیر بدست می‌آید:

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\ln (t)}dt.$

حدس ریمان یکی از کهن‌ترین حدسهای ریاضی است که در مقایسهٔ الگو:عبارت چپچین و الگو:عبارت چپچین کاربرد دارد. نظریهٔ اردوش-کاک به توضیح شمار عامل‌های اول می‌پردازد که در آن از مفهوم لگاریتم طبیعی کمک گرفته شده‌است.

لگاریتم n فاکتوریل، n! = ۱ · ۲ ·... · n چنین است:

$\ln (n!)=\ln (1)+\ln (2)+\cdots +\ln (n).$

از این برای بدست آوردن تقریب استرلینگ، یک تقریب الگو:عبارت چپچین برای nهای بزرگ، استفاده می‌شود.

حالت کلی

شکل قطبی الگو:Nowrap. هم φ هم الگو:عبارت چپچین هر دو به z مربوط می‌شوند.

عدد مختلط a جواب معادلهٔ زیر، یک لگاریتم مختلط است.

$e^a=z$

z عددی مختلط است. یک عدد مختلط را به صورت z = x + iy نمایش می‌دهیم که x و y هر دو عددی حقیقی و i یکهٔ موهومی است. چنین عددی را می‌توان با یک نقطه بر روی صفحهٔ مختلط نمایش داد (مانند روبرو). فرم قطبی نمایش دهندهٔ عدد ناصفر مختلط z است که قدر مطلق آن برابر است با فاصلهٔ r تا مبدأ مختصات و زاویهٔ میان خط گذرا از z و مبدأ با محور x زاویهٔ مربوط به این عدد مختلط است. قدر مطلق z همان r است که برابر است با:

$r=\sqrt{x^2+y^2}.$

چون φ' = φ + ۲π پس هم φ و هم 'φ هر دو زاویهٔ مربوط به zاند. تنها یک φ است که در رابطهٔ الگو:Nowrap صدق می‌کند که به آن آرگومان اصلی گفته می‌شود و به صورت الگو:عبارت چپچین نمایش داده می‌شود. گاهی هم به صورت الگو:Nowrap تعریف می‌شود.

با بهره‌گیری از تابع‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس یا شکل نمایی اعداد مختلط به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، r و φ را بالاتر تعریف کردیم:

$\begin{array}{ccc}z& =& r(\cos \phi +i\sin \phi )\\ & =& r{e}^{i\phi }.\end{array}$

در آغاز معادله‌ای را بیان کردیم که در آن توان a ام e برابر با z می‌شد. با توجه به آنچه گفته شد، مقدار a برابر خواهد بود با:

$a=\ln (r)+i(\phi +2n\pi ),$

در این رابطه، n هر عدد صحیحی می‌تواند باشد.

در آموزش و پرورش ایران

در نظام آموزش و پرورش جدید که به کاربردی سازی محتوای دروس توجه دارد، لگاریتم در پایه یازدهم کتاب حسابان ۱ مطرح می شود.

جستارهای وابسته

• رئوس مطالب لگاریتم

منابع

• الگو:یادکرد کتاب

پیوند به بیرون

• فیلم‌های آموزشی دربارهٔ لگاریتم ایجاد شده از سوی کالین بایفلیت (Colin Byfleet)، بازبینی در ۱۲ سپتامبر ۲۰۱۱
• تفسیری بر کار نپر در لگاریتم ایجاد شده از سوی ادوارد رایت (Edward Wright)، بازبینی در ۱۲ سپتامبر ۲۰۱۱
• محاسبه لگاریتم به صورت ذهنی