تقریب استرلینگ

تقریب استرلینگ یا فرمول استرلینگ، به فرمولی در ریاضیات اشاره دارد که برای تقریب‌زنی فاکتوریل‌های بزرگ به‌کار می‌رود و به یاد جیمز استرلینگ الگو:انگلیسی نام‌گذاری شده است.

فرمول

محاسبهٔ مقدار واقعی $n!$ برای $n$های بزرگ خسته‌کننده است، به جای آن می‌توان مقدار $n!$ را از فرمول استرلینگ و لگاریتم طبیعی، محاسبه کرد:

الگو:وسط‌چین $n!\approx A(n)={\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sqrt{2\pi n}$ الگو:پایان وسط‌چین

خطای نسبی این تقریب که از فرمولِ الگو:وسط‌چین $E=\frac{|n!-A(n)|}{n!}$ الگو:پایان وسط‌چین به‌دست می‌آید، در حالت بیشینه برابر است با: الگو:وسط‌چین $\frac{1}{12n-1}$ الگو:پایان وسط‌چین

اثبات

با استفاده از تابع گاما می‌توان فرمولی جایگزین برای $n!$ به شکل ذیل به‌دست آورد: الگو:وسط‌چین $n!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-x}\mathrm{d}x.$ الگو:پایان وسط‌چین با تغییر متغیر $x=ny$ ، به معادله پایین دست می‌یابیم: الگو:وسط‌چین $n!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n\ln x-x}\mathrm{d}x=e^{n\ln n}n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)}\mathrm{d}y.$ الگو:پایان وسط‌چین حال با استفاده از روش لاپلاس برای تخمین انتگرال خط پیشین به معادله پایین می‌رسیم: الگو:وسط‌چین $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)}\mathrm{d}y\sim \sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n},$ الگو:پایان وسط‌چین با جایگزینی انتگرال خواهیم داشت: الگو:وسط‌چین $n!=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n\ln x-x}\mathrm{d}x\sim e^{n\ln n}n\sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}.$ الگو:پایان وسط‌چین عبارت بالا همان تقریب استرلینگ است، یعنی: الگو:وسط‌چین $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$ الگو:پایان وسط‌چین البته روش لاپلاس را برای محاسبه دقیق‌تر تقریب نیز می‌توان مورد استفاده قرار داد، به این معنی که: الگو:وسط‌چین $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{n(\ln y-y)}\mathrm{d}y\sim \sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}(1+\frac{1}{12n})$ الگو:پایان وسط‌چین و تقریب دقیق‌تری به شکل پایین به‌دست‌آورد: الگو:وسط‌چین $n!\sim e^{n\ln n}n\sqrt{\frac{2\pi }{n}}{e}^{-n}(1+\frac{1}{12n})=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}).$ الگو:پایان وسط‌چین

مثال

مقدار واقعی الگو:چر۱۵!الگو:چر می‌شود ۱۳۰۷۶۷۴۳۶۸۰۰۰، مقدار تقریبی الگو:چر۱۵!الگو:چر با استفاده از فرمول استرلینگ به صورت زیر به‌دست می‌آید:

$ln(A(15))=15(ln(15)-1)+\frac{1}{2}(ln(2\pi )+ln(15))\approx 27.89371$

بنابراین:

$15!\approx A(15)=e^{ln(A(15))}\approx 1300420000000$

(خطای نسبی در حدود ۰٫۰۰۶ است)

جستارهای وابسته

• فاکتوریل
• لگاریتم طبیعی
• تابع گاما