فرمول دو مواور

ابراهام دو مواور

فرمول دو مواور که با نام اتحاد دو مواور و قضیهٔ دو مواور نیز شناخته می‌شود، رابطه‌ای ریاضی است که به افتخار ابراهام دو مواور نامگذاری شده‌است و بیان می‌دارد که برای هر عدد حقیقی x و عدد صحیح n رابطهٔ زیر برقرار است: الگو:چپ‌چین

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx),$

الگو:پایان چپ‌چین که در آن i یکه موهومی (الگو:Math) است. با این وجود که رابطه به نام دو مواور نامگذاری شده‌است، در کارهای او اثری از آن دیده نمی‌شود.

اهمیت این رابطه، ایجاد ارتباط میان اعداد مختلط و مثلثات است. می‌توان با بسط طرف چپ رابطه و مقایسهٔ بخش‌های حقیقی و موهومی با فرض حقیقی بودن x، عبارت‌های کاربردی برای الگو:Math و الگو:Math برحسب الگو:Math و الگو:Math استخراج کرد.

این فرمول برای توان‌های غیر صحیح برقرار نیست؛ ولی تعمیم‌هایی از آن برای نماهای دیگر وجود دارد. می‌توان از این تعمیم‌ها در به دست آوردن پاسخ صریح برای ریشه واحد مرتبه n (ریشه‌های معادلهٔ الگو:Math) استفاده کرد.

استخراج از فرمول اویلر

می‌توان فرمول دو مواور را به سادگی از فرمول اویلر استخراج کرد: الگو:چپ‌چین

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

الگو:پایان چپ‌چین و طبق تعریف قانون نما برای توان‌های صحیح: الگو:چپ‌چین

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}.$

الگو:پایان چپ‌چین اکنون بر پایهٔ فرمول اویلر داریم: الگو:چپ‌چین

$e^{inx}=\cos nx+i\sin nx.$

اثبات با استقراء (برای عدد صحیح n)

با استفاده از استقرای ریاضی برای اعداد صحیح می‌توان درستی فرمول دو مواور را نشان داد و آن را به همهٔ اعداد صحیح بسط داد. برای عدد صحیح n عبارت الگو:Math را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos nx+i\sin nx.$

الگو:پایان چپ‌چین برای n بزرگتر از صفر بر پایهٔ استقرای ریاضی پیش می‌رویم. درستی الگو:Math بدیهی است. اکنون فرض می‌کنیم برای عدد صحیح k عبارت الگو:Math درست است. به سخن دیگر: الگو:چپ‌چین ${(\cos x+i\sin x)}^k=\cos kx+i\sin kx.$ الگو:پایان چپ‌چین سپس درستی الگو:Math را بررسی می‌کنیم. الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^{k+1}& ={(\cos x+i\sin x)}^k(\cos x+i\sin x)\\ & =(\cos kx+i\sin kx)(\cos x+i\sin x)& & \text{فرض استقراء}\\ & =\cos (kx)\cos x-\sin (kx)\sin x+i(\cos (kx)\sin x+\sin (kx)\cos x)\\ & =\cos ((k+1)x)+i\sin ((k+1)x)& & \text{بر پایه اتحادهای مثلثاتی}\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین فهرست اتحادهای مثلثاتی را ببینید.

بر پایهٔ اصل استقراء، درست بودن الگو:Math برحسب الگو:Math نشان می‌دهد که رابطه برای همه اعداد طبیعی درست است. درست بودن الگو:Math نیز بدیهی است، زیرا الگو:Math. در نهایت، برای اعداد صحیح منفی نمای n- را برای عدد طبیعی n در نظر می‌گیریم: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}{(\cos x+i\sin x)}^{-n}& =({(\cos x+i\sin x)}^n{)}^{-1}\\ & ={(\cos nx+i\sin nx)}^{-1}\\ & =\cos (-nx)+i\sin (-nx).(*)\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین معادلهٔ (*) نتیجهٔ اتحاد زیر است: الگو:چپ‌چین

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2},$

الگو:پایان چپ‌چین که در آن الگو:Nowrap؛ بنابراین الگو:Math برای همهٔ اعداد صحیح درست است.

رابطهٔ جداگانه برای کسینوس و سینوس

در برابری اعداد مختلط، باید اجزای حقیقی و موهومی جداگانه با هم برابر باشند. اگر x (و نیز کسینوس و سینوس آن) عدد حقیقی باشد، می‌توان اتحاد این اجزاء را با استفاده از ضرایب دوجمله‌ای نوشت. فرانسوا ویت (ریاضیدان فرانسوی سدهٔ شانزدهم) این رابطه را ارائه داد: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\sin (nx)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\cos x{)}^k(\sin x{)}^{n-k}\sin \frac{(n-k)\pi }{2}\\ \cos (nx)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\cos x{)}^k(\sin x{)}^{n-k}\cos \frac{(n-k)\pi }{2}.\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین در هر یک از دو معادلهٔ بالا تابع مثلثاتی آخر برابر یک یا منفی یک یا صفر است؛ بنابراین نصف ورودی‌های هر جمع حذف می‌شود. در واقع از آن جایی که دو طرف رابطه، روی صفحهٔ مختلط تابع کامل (تابع تحلیلی مختلط روی تمام صفحهٔ مختلط) هستند، این معادلات برای اعداد مختلط نیز درست هستند و اگر در محور حقیقی با هم منطبق باشند، در همه‌جا منطبق هستند.

طرف راست رابطه برای الگو:Math همان چندجمله‌ای چبیشف در نقطه الگو:Math (یعنی الگو:Math) است.