قضیه هارتمن-گروبمن

در ریاضیات، در مطالعه سیستم‌های دینامیکی، قضیه هارتمن-گروبمن یا قضیه خطی‌سازی یک قضیه دربارهٔ رفتار موضعی سامانه‌های دینامیکی در همسایگی یک نقطه تعادل هذلولی‌وار است. این قضیه ادعا می‌کند که خطی‌سازی - ساده‌سازی طبیعی سیستم - در پیش‌بینی الگوهای کیفی رفتار مؤثر است. این قضیه نام خود را مدیون فیلیپ هارتمن و دیوید ام گروبمن می‌باشد.

قضیه اصلی

سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت $u(t)\in {ℝ}^n$ در حال تحول است، به طوری که معادله دیفرانسیل $du/dt=f(u)$ را برای برخی از نگاشت‌های هموار $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ ارضا می‌کند. فرض کنید نگاشت حالت تعادلی هذلولی‌وار $u^{*}\in {ℝ}^n$ دارد: به این معنا که، $f(u^{*})=0$ و ماتریس ژاکوبی $A=[\partial f_i/\partial x_j]$ از $f$ در حالت $u^{*}$ هیچ مقدارویژه‌ای با قسمت حقیقی برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی $N$ از تعادل $u^{*}$ و یک همسان‌ریختی $h:N\to {ℝ}^n$ وجود دارد، به طوری که $h(u^{*})=0$ و همچنین شار $du/dt=f(u)$ در همسایگی $N$ از طریق نگاشت پیوسته $U=h(u)$ با شار خطی‌سازی آن $dU/dt=AU$، مزدوج توپولوژیکی است.

حتی برای نگاشت‌های بی‌نهایت مشتق‌پذیر $f$ ، همسان‌ریختی $h$ لازم نیست که هموار باشد، و نه حتی به صورت محلی لیپ‌شیتس. با این حال، به نظر می‌رسد پیوسته هولدر است، و یک توان وابسته به ثابت هذلولی‌وار $A$ .

قضیه هارتمن - گروبمن به فضاهای نامتناهی باناخ، سیستم‌های ناخودگرد الگو:به انگلیسی $du/dt=f(u,t)$ (به‌طور بالقوه تصادفی) تعمیم یافته‌است، و بدین‌ترتیب تفاوت‌های توپولوژیکی که در حالت‌های مربوط به مقادیر ویژه صفر و نزدیک به صفر ایجاد می‌گردند نیز قابل تشخیص خواهند بود.

مثال

سیستم دو بعدی را با متغیرهای در حال تحول $u=(y,z)$ در نظر بگیرید. با توجه به جفت معادلات دیفرانسیل تزویج‌شده الگو:به انگلیسی است الگو:وسط‌چین $\frac{dy}{dt}=-3y+yz$ و $\frac{dz}{dt}=z+y^2$ الگو:پایان وسط‌چین با محاسبه مستقیم می‌توان دریافت که تنها تعادل این سیستم در مبدأ، یعنی $u^{*}=0$ قرار دارد. تبدیل مختصات، $u=h^{-1}(U)$ که $U=(Y,Z)$، به این صورت است: الگو:وسط‌چین $\begin{array}{cc}y& \approx Y+YZ+\frac{1}{42}{Y}^3+\frac{1}{2}Y{Z}^2\\ z& \approx Z-\frac{1}{7}{Y}^2-\frac{1}{3}{Y}^{2}Z\end{array}$ الگو:پایان وسط‌چین نگاشت فوق، نگاشتی بین مختصات اصلی $u=(y,z)$ و مختصات جدید $U=(Y,Z)$ است که دست کم در نزدیکی نقطه تعادل واقع در مبدأ هموار می‌باشد. در مختصات جدید سیستم دینامیکی به حالت خطی‌شدگی خود تبدیل می‌گردد: الگو:وسط‌چین $\frac{dY}{dt}=-3Y$ و $\frac{dZ}{dt}=Z$ الگو:پایان وسط‌چین یعنی یک نسخه اعوجاج یافته از حالت خطی‌شده، دینامیک اصلی را در یک همسایگی متناهی تولید می‌نماید.

جستارهای وابسته

• قضیه منیفلد پایدار

مطالعه بیشتر

• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book

پیوند به بیرون

• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book
• الگو:Cite web