قانون هوک

پرونده:Hookeslaw.ogv پرونده:Hookeslawexample.ogv

قانون هوک در فیزیک، مکانیک و دانش مواد کشسانی (الاستیسیته)، تقریبی است نشان دهندهٔ آن که تغییر طول یک ماده با بار وارد بر آن رابطهٔ خطی دارد. بسیاری از مواد تا زمانی که نیرو از حد کشسانی آن‌ها کمتر باشد با تقریب خوبی از این قانون پیروی می‌کنند. انحراف از قانون هوک با افزایش میزان تغییرشکل زیاد می‌شود به‌طوری‌که در تغییرشکل‌های زیاد، با خارج شدن ماده از دامنه کشسان خطی، این قانون کاربرد خود را از دست می‌دهد. موادی که قانون هوک برای آن‌ها تقریب مناسبی باشد، مواد کشسان خطی یا «مواد هوکی» نام دارند. ساده شدهٔ قانون هوک بیان می‌دارد که کرنش با تنش رابطهٔ مستقیم دارد:

پرونده:Restoring force.gif

الگو:چپ‌چین

𝐅 = - k 𝐱

الگو:پایان چپ‌چین که در آن:

x: جابجایی فنر فشرده یا کشیده‌شده از نقطهٔ تعادل آن است. یکای x در دستگاه SI متر است.

F: نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر که با جابجایی انتهای فنر مقاومت می‌کند (نیروی مقاومت فنر) است؛ در دستگاه SI یکای آن نیوتن N یا کیلوگرم‌متر بر مجذور ثانیه Kg m s^-۲ است.

k: ثابت فنر است که در دستگاه SI یکای آن نیوتن بر متر یا کیلوگرم بر مجذور ثانیه‌ است.

وقتی چنین رابطه‌ای برای ماده‌ای برقرار باشد، می‌توان گفت که آن ماده رفتار خطی دارد و اگر نتایج آن را بر روی یک نمودار نمایش دهیم می‌بینیم که نتایج به صورت یک خط راست بدست آمده‌اند. علامت منفی در سمت راست رابطهٔ بالا به این دلیل است که نیروی بازگردانندهٔ فنر و جابجایی فنر همواره در جهت مخالف یکدیگر عمل می‌کنند. مثلاً اگر فنر به سمت راست افزایش طول پیدا کند نیروی بازگردانندهٔ آن در سوی مخالف و به سمت چپ یعنی در جهت جمع شدن فنر وارد می‌شود.

قانون هوک پس از قرن ۱۷ میلادی به نام فیزیکدان بریتانیایی رابرت هوک نام‌گذاری شد. وی ابتدا در سال ۱۶۶۰ با عنوان مقلوب لاتین ارائه کرد^[۳] و در سال ۱۶۷۸ راه حلش را با عنوان رمزی Ut tensio, sic vis به معنی هرچقدرجابجایی همانقدر نیرو، منتشر کرد.

کاربرد عمومی برای مواد کشسانی

قانون هوک می‌تواند پیش‌بینی کند که در اثر یک نیروی مشخص چقدر فنر کشیده خواهد شد.

موادی که پس از وارد شدن یک نیرو و تغییر شکل به سرعت به حالت اولیهٔ خود بازمی‌گردند و مولکول‌ها و اتم‌های آن‌ها نیز به حالت اولیه و تعادل پایدار پیشین خود بازمی‌گردند، معمولاً از قانون هوک پیروی می‌کنند.

یک میله از جنس یک مادهٔ کشسان را می‌توان مانند یک فنر خطی در نظر گرفت، طول میله L و سطح مقطع آن A است. افزایش طول میله (کرنش) آن به صورت خطی با تنش کششی σ وارد بر آن نسبت خطی ثابت دارد. وارون این نسبت خطی را مدول الاستیسیته E می‌نامند؛ بنابراین: الگو:چپ‌چین

σ = E ε

یا

Δ L = \frac{F}{E A} L = \frac{σ}{E} L .

الگو:پایان چپ‌چین مواد تا زمانی که در بازهٔ کشسانی خود باشند (تنش‌های وارد بر آن‌ها کمتر از تنش تسلیم باشد) از قانون هوک پیروی می‌کنند. در مقابل موادی مانند کائوچو را مواد غیرهوکی می‌نامند در این مواد ویژگی کشسانی ماده به تنش وارد بر آن وابسته‌است و به دمای محیط و نرخ بارگذاری نیز حساس است.

در تغییرشکل‌های کوچک زاویه‌ای، رابطه هوک به صورت زیر بیان می‌شود: الگو:چپچین

τ = G γ

الگو:پایان چپ‌چین که در آن، τ تنش برشی اعمال شده بر ماده، γ کرنش زاویه‌ای (برابر تانژانت زاویه پیچش)، و G مدول برشی ماده تحت تنش است. رابطه کرنش زاویه‌ای با زاویه پیچش (θ) به صورت زیر است:^[۴] الگو:چپچین

γ = tan(θ) ≈ θ

الگو:پایان چپ‌چین

از قانون هوک در ترازوهای فنری، تحلیل تنش و مدل سازی مواد و … استفاده می‌شود.

معادلهٔ فنر

می‌توان از معادلهٔ فنر به عنوان پر کاربردترین بیان قانون هوک یاد کرد. قانون هوک برای فنر بیان می‌دارد که نسبت نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر به میزان تغییر شکل فنر برابر است با مقدار ثابتی معروف به ثابت فنر یا k با یکای نیرو بر طول: الگو:چپ‌چین

F = - k x

الگو:پایان چپ‌چین علامت منفی در رابطهٔ بالا به این دلیل است که بردارهای نیرو و جابجایی در خلاف جهت یکدیگر بر این سامانه اثر می‌کنند. نیروی بازگردانندهٔ فنر در برابر هر نوع تغییر شکل مقاومت می‌کند و تلاش می‌کند تا فنر را دوباره به حالت تعادل پیشین خود بازگرداند. کارمایه یا انرژی پتانسیل ذخیره شده در فنر برابر است با: الگو:چپ‌چین

P E = \frac{1}{2} k x^{2}

الگو:پایان چپ‌چین که برابر است با انرژی لازم برای اینکه کم‌کم فنر جمع شود یا انتگرال نیرو روی جابجایی. یادآوری می‌شود که مقدار انرژی پتانسیل فنر همواره بزرگتر از صفر است.

انرژی ذخیره شده را می‌توان به صورت یک نمودار سهمی روی محور U-x نمایش داد. وقتی که فنر در جهت محور x کشیده یا فشرده می‌شود (در هر دو حالت) انرژی پتانسیل آن افزایش می‌ یابد. فنر همواره تلاش می‌کند تا با بازگرداندن خود به حالت تعادل انرژی پتانسیلش را آزاد کند (از دست بدهد) درست مانند توپی که از یک بلندی رها می‌شود و انرژی پتانسیل گرانشی خود را از دست می‌دهد (می‌کاهد).

اگر جرم m به انتهای یک فنر بسته شود و پس از کشیده شدن رها گردد، در حالت آرمانی که اصطکاک نداشته باشیم و جرم فنر نسبت به جرم m ناچیز باشد، فنر و جرم همواره نوسان خواهند کرد که سرعت زاویه‌ای آن برابر خواهد بود با: الگو:چپ‌چین

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

الگو:پایان چپ‌چین بسامد آن برابر است با: الگو:چپ‌چین

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}} .

الگو:پایان چپ‌چین تذکر: رابطه‌های بالا با این فرض گفته شد که فنر بیش از بازهٔ کشسان خود کشیده نشده‌باشد که در غیر این صورت فنر دچار تغییر شکل همیشگی (بدون بازگشت) می‌شود.

سامانه‌ای با چندین فنر

دو فنر را می‌توان به شکل سری یا موازی به یک جرم وصل کرد، که در زیر این دو حالت با یکدیگر مقایسه شده‌اند.

مقایسه	فنرهای موازی	فنرهای سری

ثابت فنر هم‌ارز	$k_{e q} = k_{1} + k_{2}$	$\frac{1}{k_{e q}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$
طول فشردگی	$x_{1} = x_{2}$	$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{k_{2}}{k_{1}}$
انرژی ذخیره شده	$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}}$	$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{2}}{k_{1}}$

اثبات

ثابت فنر هم‌ارز (سری)

برای بدست آوردن ثابت فنر هم-ارز دو فنر سری

k_{e q}

، باید از روش هوشمندانه تری نسبت به حالت دو فنر موازی استفاده کرد.

اگر فرض کنیم میزان تغییر شکل در فنر هم‌ارز (که برابر است با موقعیت مکانی جرم انتهای فنرها) برابر با x_۲ باشد، برای بدست آوردن $k_{e q}$ نیاز داریم تا به رابطه‌ای مانند معادلهٔ زیر برسیم: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - k_{e q} x_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین همچنین فرض می‌کنیم که نقطهٔ پیوند میان دو فنر موقعیت x_۲ را داشته باشد؛ بنابراین نیروی وارده بر جرم انتهایی برابر است با: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - k_{2} (x_{2} - x_{1}) . (1)

الگو:پایان چپ‌چین همچنین نیروی وارده بر محل پیوند میان دو فنر برابر خواهد بود با: الگو:چپ‌چین

F_{s} = - k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{2} - x_{1}) .

الگو:پایان چپ‌چین وقتی که جرم هول داده می‌شود، فنرها فشرده می‌شوند، حال اگر جرم را رها کنیم کل سامانه اجازه پیدا می‌کند تا به حالت تعادل بازگردد وقتی سامانه به سمت تعادل یا نیروی صفر بازمی‌گردد به این معنی است که مجموع نیروهای فنرها برابر با صفر می‌شود. پس $F_{s} = 0$ می‌شود، برای بدست آوردن $x_{1}$ می‌نویسیم: الگو:چپ‌چین

- k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{2} - x_{1}) = 0

- k_{1} x_{1} - k_{2} x_{1} = - k_{2} x_{2}

(k_{1} + k_{2}) x_{1} = k_{2} x_{2}

الگو:پایان چپ‌چین پس: الگو:چپ‌چین

x_{1} = \frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}} x_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین مقدار بدست آمدهٔ $x_{1}$ را در رابطهٔ (۱) جایگزین می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

$F_{b}$	$= - k_{2} x_{2} + k_{2} x_{1}$
	$= - k_{2} x_{2} + k_{2} (\frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}} x_{2})$
	$= - k_{2} x_{2} (\frac{k_{1} + k_{2}}{k_{1} + k_{2}}) + \frac{k_{2}^{2}}{k_{1} + k_{2}} x_{2}$
	$= x_{2} \frac{- k_{1} k_{2} - k_{2}^{2} + k_{2}^{2}}{k_{1} + k_{2}}$

الگو:پایان چپ‌چین به این ترتیب نیروی وارده به جرم بدست می‌آید: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - (\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}) x_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین می‌توان گفت که عبارت داخل پرانتز ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است: الگو:چپ‌چین

k_{e q} = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}} .

الگو:پایان چپ‌چین عبارت بالا را بازنویسی می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

\frac{1}{k_{e q}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} .

ثابت فنر هم‌ارز (موازی)

هر دوی فنرها به جرم موجود در سامانه بسته شده‌اند پس میزان تغییر شکل هر دو فنر با هم برابر است. نیروی وارده به جرم برابر خواهد بود با:

الگو:چپ‌چین

$F_{b}$	$= F_{1} + F_{2}$
	$= - k_{1} x - k_{2} x$

الگو:پایان چپ‌چین پس از فاکتورگیری خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - (k_{1} + k_{2}) x .

الگو:پایان چپ‌چین می‌توان نتیجه گرفت که عبارت داخل پرانتز همان ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است: الگو:چپ‌چین

k_{e q} = k_{1} + k_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین

طول فشردگی

وقتی که دو فنر به صورت سری بسته شده باشند، اندازهٔ نیروی هر دو فنر با هم برابر است:

الگو:چپ‌چین

| F_{1} | = | F_{2} |

k_{1} x_{1} = k_{2} (x_{2} - x_{1}) .

الگو:پایان چپ‌چین x₁ میزان تغییر طول فنر یک، و x₂ - x₁ میزان تغییر طول فنر دو است. تعریف می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

a_{1} = x_{1}

a_{2} = x_{2} - x_{1} .

الگو:پایان چپ‌چین عبارت‌های بالا را جایگزین می‌کنید:

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{k_{2}}{k_{1}} .

انرژی ذخیره شده

نسبت انرژی ذخیره شده در دو فنر سری عبارت است از:

الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{1}{2} k_{1} a_{1}^{2}}{\frac{1}{2} k_{2} a_{2}^{2}},

الگو:پایان چپ‌چین پیش تر رابطهٔ میان a₁ و a₂ را بدست آورده بودیم که در رابطهٔ بالا جایگزین می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}} {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{2} = \frac{k_{2}}{k_{1}} .

الگو:پایان چپ‌چین برای فنرهای موازی: الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{1}{2} k_{1} x^{2}}{\frac{1}{2} k_{2} x^{2}}

الگو:پایان چپ‌چین چون در فنرهای موازی، میزان فشردگی هر دو فنر با هم برابر است، x از دو طرف تساوی ساده می‌شود: الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}} .

الگو:پایان چپ‌چین

بیان تانسوری قانون هوک

تذکر: در ادامه از قرارداد جمع‌زنی اینشتین، استفاده شده‌است.

وقتی که با تنش‌های سه بعدی کار می‌کنیم، از تانسور چهارتایی $𝖼$ به شکل $c_{i j k ℓ}$ که دارای ۸۱ ضریب الاستیسیته‌است باید استفاده کرد تا بتوان میان تانسور تنش $σ$ یا (σ_ij) و تانسور کرنش $ϵ$ یا ( $ϵ_{k ℓ}$ ) ارتباط برقرار کرد. الگو:چپ‌چین

σ = 𝖼 : ϵ .

الگو:پایان چپ‌چین اگر عبارت بالا را به همراه جزئیاتش بنویسیم به شکل زیر خواهد بود (با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین): الگو:چپ‌چین

σ_{i j} = c_{i j k ℓ} ϵ_{k ℓ}

الگو:پایان چپ‌چین تانسور $𝖼$ را تانسور سفتی یا تانسور الاستیسیته می‌نامند. به دلیل تقارن تانسورهای تنش و کرنش، در تانسور سفتی تنها ۲۱ ضریب از یکدیگر مستقل‌اند. از آنجایی که یکای تنش همان یکای فشار است و کرنش، یکایی ندارد، پس یکای تمامی درایه‌های تانسور سفتی $c_{i j k ℓ}$ ، همان یکای تنش خواهد بود.

عبارت عمومی قانون هوک را می‌توان شبیه رابطهٔ میان تنش و کرنش نوشت: الگو:چپ‌چین

ϵ = 𝗌 : σ o r ϵ_{i j} = s_{i j k ℓ} σ_{k ℓ} .

الگو:پایان چپ‌چین تانسور $𝗌$ را تانسور انطباق می‌نامند.

مواد همسان

تذکر: برای آگاهی بیشتر دربارهٔ سیالات، مقالهٔ گرانروی را نگاه کنید.

ویژگی مواد همسان این است که آن‌ها در جهت‌های مختلف ویژگی‌های یکسان از خود نشان می‌دهند؛ بنابراین معادلات فیزیکی که برای مواد همسان نوشته می‌شود باید مستقل از دستگاه مختصات باشد. تانسور کرنش یک تانسور متقارن است. می‌توان تانسور کرنش را بوسیلهٔ اثر آن و دلتای کرونکر $δ_{i j}$ به شکل زیر نمایش داد:^[۵]الگو:Rp الگو:چپ‌چین

ε_{i j} = (\frac{1}{3} ε_{k k} δ_{i j}) + (ε_{i j} - \frac{1}{3} ε_{k k} δ_{i j})

الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از جبر تانسورها خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

ε = v o l (ε) + d e v (ε); v o l (ε) : = \frac{1}{3} t r (ε) 𝐈; d e v (ε) : = ε - v o l (ε)

الگو:پایان چپ‌چین که $𝐈$ تانسور یکهٔ درجه دو است. در سمت راست تساوی، عبارت $V o l$ الگو:به انگلیسی به معنی تانسور کرنش حجمی است و عبارت $d e v$ به معنی تانسور اعوجاج یا تانسور کرنش برشی یا تانسور انحرافی الگو:به انگلیسی است.

عمومی‌ترین شکل قانون هوک برای مواد همسان به صورت ترکیب خطی این تانسورها نوشته می‌شود: الگو:چپ‌چین

σ_{i j} = 3 K (\frac{1}{3} ε_{k k} δ_{i j}) + 2 G (ε_{i j} - \frac{1}{3} ε_{k k} δ_{i j}); σ = 3 K v o l (ε) + 2 G d e v (ε)

الگو:پایان چپ‌چین در عبارت بالا، K مدول حجمی، و G مدول برشی است.

با استفاده از مدول الاستیک، می‌توان رابطهٔ بالا را بیشتر گسترش داد، در نتیجه دیگر نوشتار تانسوری قانون هوک عبارت است از:^[۶] الگو:چپ‌چین

σ = λ t r (ε) 𝐈 + 2 μ ε = 𝖼 : ε; 𝖼 = λ 𝐈 \otimes 𝐈 + 2 μ 𝖨

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $λ : = K - 2 / 3 G$ و $μ : = G$ ثابت‌های لامه اند، $𝐈$ تانسور یکه و $𝖨$ تانسور یکهٔ درجهٔ چهار است. با توجه به دستگاه مختصات کارتزین: الگو:چپ‌چین

σ_{i j} = λ ε_{k k} δ_{i j} + 2 μ ε_{i j} = c_{i j k ℓ} ε_{k ℓ}; c_{i j k ℓ} = λ δ_{i j} δ_{k ℓ} + μ (δ_{i k} δ_{j ℓ} + δ_{i ℓ} δ_{j k})

الگو:پایان چپ‌چین رابطهٔ معکوس عبارت است از:^[۷] الگو:چپ‌چین

ε = \frac{1}{2 μ} σ - \frac{λ}{2 μ (3 λ + 2 μ)} t r (σ) 𝐈 = \frac{1}{2 G} σ + (\frac{1}{9 K} - \frac{1}{6 G}) t r (σ) 𝐈

الگو:پایان چپ‌چین بنابراین تانسور انطباق در رابطهٔ $ε = 𝗌 : σ$ ، عبارت خواهد بود از: الگو:چپ‌چین

𝗌 = - \frac{λ}{2 μ (3 λ + 2 μ)} 𝐈 \otimes 𝐈 + \frac{1}{2 μ} 𝖨 = (\frac{1}{9 K} - \frac{1}{6 G}) 𝐈 \otimes 𝐈 + \frac{1}{2 G} 𝖨

الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از مدول یانگ و ضریب پواسون، قانون هوک برای مواد همسان را چنین می‌توان نوشت: الگو:چپ‌چین

ε = \frac{1}{E} σ - \frac{ν}{E} [t r (σ) 𝐈 - σ]

الگو:پایان چپ‌چین در نتیجه کرنش در جهت‌های مختلف را می‌توان به شکل زیر نوشت: الگو:چپ‌چین

\begin{matrix} ε_{11} & = \frac{1}{E} [σ_{11} - ν (σ_{22} + σ_{33})] \\ ε_{22} & = \frac{1}{E} [σ_{22} - ν (σ_{11} + σ_{33})] \\ ε_{33} & = \frac{1}{E} [σ_{33} - ν (σ_{11} + σ_{22})] \\ ε_{12} & = \frac{1}{2 G} σ_{12}; ε_{13} = \frac{1}{2 G} σ_{13}; ε_{23} = \frac{1}{2 G} σ_{23} \end{matrix}

الگو:پایان چپ‌چین

که در آن E مدول الاستیسیته و $ν$ ضریب پواسون است.

قانون هوک در سه بعد

قانون هوک در سه بعد را می‌توان با استفاده از ضریب پواسون و شکل یک بعدی این قانون بدست آورد.الگو:سخ

فرض کنید در اثر نیروی وارده در جهت (۱) کشش داریم و در جهت‌های (۲ و ۳) عمود بر جهت (۱) جمع شدگی داریم: الگو:چپ‌چین

{ε_{1}}^{'} = \frac{1}{E} σ_{1}

,

{ε_{2}}^{'} = - \frac{ν}{E} σ_{1}

,

{ε_{3}}^{'} = - \frac{ν}{E} σ_{1}

,

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $ν$ ضریب پواسون و $E$ مدول یانگ است. معادلهٔ مشابه را در جهت‌های ۲ و ۳ چنین خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

{ε_{1}}^{″} = - \frac{ν}{E} σ_{2}

,

{ε_{2}}^{″} = \frac{1}{E} σ_{2}

,

{ε_{3}}^{″} = - \frac{ν}{E} σ_{2}

,

الگو:پایان چپ‌چین و الگو:چپ‌چین

{ε_{1}}^{‴} = - \frac{ν}{E} σ_{3}

,

{ε_{2}}^{‴} = - \frac{ν}{E} σ_{3}

,

{ε_{3}}^{‴} = \frac{1}{E} σ_{3}

.

الگو:پایان چپ‌چین با جمع کردن هر سه حالت $ε_{i} = {ε_{i}}^{'} + {ε_{i}}^{″} + {ε_{i}}^{‴}$ با یکدیگر خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

ε_{1} = \frac{1}{E} (σ_{1} - ν (σ_{2} + σ_{3}))

ε_{2} = \frac{1}{E} (σ_{2} - ν (σ_{1} + σ_{3}))

ε_{3} = \frac{1}{E} (σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2}))

الگو:پایان چپ‌چین پس از فاکتورگیری از $ν σ$ خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

ε_{1} = \frac{1}{E} ((1 + ν) σ_{1} - ν (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}))

ε_{2} = \frac{1}{E} ((1 + ν) σ_{2} - ν (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}))

ε_{3} = \frac{1}{E} ((1 + ν) σ_{3} - ν (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}))

الگو:پایان چپ‌چین $σ_{1}$ از رابطه‌های بالا چنین بدست می‌آید: الگو:چپ‌چین

σ_{1} = \frac{E}{1 + ν} ε_{1} + \frac{ν}{1 + ν} (σ_{1} + σ_{2} + σ_{3})

.

الگو:پایان چپ‌چین محاسبهٔ مجموع رابطه: الگو:چپ‌چین

\sum_{i = 1, 2, 3} ε_{i} = \frac{1}{E} ((1 + ν) \sum_{i = 1, 2, 3} σ_{i} - 3 ν (\sum_{i = 1, 2, 3} σ_{i})) = \frac{1 - 2 ν}{E} \sum_{i = 1, 2, 3} σ_{i}

σ_{1} + σ_{2} + σ_{3} = \frac{E}{1 - 2 ν} (ε_{1} + ε_{2} + ε_{3})

الگو:پایان چپ‌چین پس از خلاصه کردن $σ_{1}$ به صورت زیر بدست می‌آید: الگو:چپ‌چین

σ_{1} = \frac{E}{1 + ν} ε_{1} + \frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} (ε_{1} + ε_{2} + ε_{3})

,

σ_{1} = 2 μ ε_{1} + λ (ε_{1} + ε_{2} + ε_{3})

,

الگو:پایان چپ‌چین که در روابط بالا، $μ$ و $λ$ ثابت‌های لامه‌اند. به طریق مشابه اگر معادلات برای جهت‌های (۲ و ۳) نوشته شود، قانون هوک در سه بعد بدست می‌آید.

قانون هوک در قالب ماتریسی برای مواد همسان عبارت است از: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ 2 ε_{23} \\ 2 ε_{31} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ γ_{23} \\ γ_{31} \\ γ_{12} \end{matrix}] = \frac{1}{E} [\begin{matrix} 1 & - ν & - ν & 0 & 0 & 0 \\ - ν & 1 & - ν & 0 & 0 & 0 \\ - ν & - ν & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 (1 + ν) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 (1 + ν) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 (1 + ν) \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \\ σ_{12} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $γ_{i j} : = 2 ε_{i j}$ کرنش برشی است. معکوس رابطه چنین است: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \\ σ_{12} \end{matrix}] = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & ν & ν & 0 & 0 & 0 \\ ν & 1 - ν & ν & 0 & 0 & 0 \\ ν & ν & 1 - ν & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (1 - 2 ν) / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (1 - 2 ν) / 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1 - 2 ν) / 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ 2 ε_{23} \\ 2 ε_{31} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از ثابت‌های لامه، رابطهٔ بالا را ساده می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \\ σ_{12} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 μ + λ & λ & λ & 0 & 0 & 0 \\ λ & 2 μ + λ & λ & 0 & 0 & 0 \\ λ & λ & 2 μ + λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & μ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & μ \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ 2 ε_{23} \\ 2 ε_{31} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین

تنش‌های صفحه‌ای در قانون هوک

در اثر تنش‌های صفحه‌ای، تنش در بعد سوم به شکل $σ_{33} = σ_{31} = σ_{13} = σ_{32} = σ_{23} = 0$ خواهد بود؛ در این صورت قانون هوک به شکل زیر ارائه می‌شود: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}] = \frac{1}{E} [\begin{matrix} 1 & - ν & 0 \\ - ν & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 (1 + ν) \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین وارون رابطه به صورت زیر خواهد بود: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}] = \frac{E}{1 - ν^{2}} [\begin{matrix} 1 & ν & 0 \\ ν & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - ν}{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین

مواد ناهمسان

تقارن تانسور تنش کوشی ( $σ_{i j} = σ_{j i}$ ) و قانون هوک در حالت کلی ( $σ_{i j} = c_{i j k ℓ} ϵ_{k ℓ}$ ) می‌رساند که $c_{i j k ℓ} = c_{j i k ℓ}$ خواهد بود. به روش مشابه، از تقارن تانسور کرنش‌های بسیار کوچک می‌توان نتیجه گرفت که $c_{i j k ℓ} = c_{i j ℓ k}$ . این تقارن‌ها را تقارن خردِ^[۸] تانسور سفتی می‌نامند ( $𝖼$ ).

آنگاه که گرادیان تغییرشکل‌ها و تنش کوشی با هم کار کنند، رابطهٔ تنش - کرنش را می‌توان از تابع چگالی انرژی تغییر شکل‌ها ( $𝖴$ ) بدست آورد: الگو:چپ‌چین

σ_{i j} = \frac{\partial U}{\partial ϵ_{i j}} ⟹ c_{i j k ℓ} = \frac{\partial^{2} U}{\partial ϵ_{i j} \partial ϵ_{k ℓ}} .

الگو:پایان چپ‌چین از دلخواه بودن ترتیب دیفرانسیل‌ها می‌توان نتیجه گرفت که $c_{i j k ℓ} = c_{k ℓ i j}$ که این را تقارن بزرگ^[۹] تانسور سفتی می‌نامند. تقارن خُرد و تقارن بزرگ تانسور سفتی نتیجه می‌دهد که تانسور سفتی تنها ۲۱ درایهٔ مستقل (جزء سازندهٔ مستقل) دارد.

نمایش ماتریسی (تانسور سفتی)

معمول است که قانون هوک برای مواد نامسان را به صورت ماتریسی نیز توضیح دهند که آن را مفهوم وویت نیز می‌نامند. برای این کار باید از تقارن تانسورهای تنش و کرنش استفاده کرد و آن‌ها را به صورت یک بردار شش بُعدی در یک دستگاه مختصات متعامد^[۱۰] ( $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}$ ) به صورت زیر توضیح داد: الگو:چپ‌چین

[σ] = [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \\ σ_{12} \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{3} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}]; [ϵ] = [\begin{matrix} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ ϵ_{33} \\ 2 ϵ_{23} \\ 2 ϵ_{31} \\ 2 ϵ_{12} \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \\ ϵ_{4} \\ ϵ_{5} \\ ϵ_{6} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین آنگاه تانسور سفتی ( $𝖼$ ) را می‌توان چنین نوشت: الگو:چپ‌چین

[𝖢] = [\begin{matrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\ c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\ c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\ c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\ c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\ c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212} \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین قانون هوک به گونهٔ زیر نوشته می‌شود: الگو:چپ‌چین

[σ] = [𝖢] [ϵ] or σ_{i} = C_{i j} ϵ_{j} .

الگو:پایان چپ‌چین به روش مشابه تانسور ( $𝗌$ ) انطباق را چنین می‌توان نوشت: الگو:چپ‌چین

[𝖲] = [\begin{matrix} s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2 s_{1123} & 2 s_{1131} & 2 s_{1112} \\ s_{2211} & s_{2222} & s_{2233} & 2 s_{2223} & 2 s_{2231} & 2 s_{2212} \\ s_{3311} & s_{3322} & s_{3333} & 2 s_{3323} & 2 s_{3331} & 2 s_{3312} \\ 2 s_{2311} & 2 s_{2322} & 2 s_{2333} & 4 s_{2323} & 4 s_{2331} & 4 s_{2312} \\ 2 s_{3111} & 2 s_{3122} & 2 s_{3133} & 4 s_{3123} & 4 s_{3131} & 4 s_{3112} \\ 2 s_{1211} & 2 s_{1222} & 2 s_{1233} & 4 s_{1223} & 4 s_{1231} & 4 s_{1212} \end{matrix}] \equiv [\begin{matrix} S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} & S_{15} & S_{16} \\ S_{12} & S_{22} & S_{23} & S_{24} & S_{25} & S_{26} \\ S_{13} & S_{23} & S_{33} & S_{34} & S_{35} & S_{36} \\ S_{14} & S_{24} & S_{34} & S_{44} & S_{45} & S_{46} \\ S_{15} & S_{25} & S_{35} & S_{45} & S_{55} & S_{56} \\ S_{16} & S_{26} & S_{36} & S_{46} & S_{56} & S_{66} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین

تغییر دستگاه مختصات

اگر یک مادهٔ کشسان خطی (الاستکیک خطی) را از حالت مرجع به حالتی دیگر دوران دهیم، آن ماده در برابر دوران متقارن باقی می‌ماند اگر اجزای تانسور سفتی را نیز باید با توجه به حالت جدید دوران داد^[۱۱] الگو:چپ‌چین

c_{p q r s} = l_{p i} l_{q j} l_{r k} l_{s ℓ} c_{i j k ℓ}

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $l_{a b}$ اجزای یک ماتریس متعامد دوران به نام $[L]$ است. رابطهٔ مشابه برای وارون‌ها نیز وجود دارد.

در جبر ماتریس‌ها داریم که اگر ماتریس تغییر یافته (به صورت وارون یا دوران) خود وابسته به ماتریس‌های دیگر باشد، اجزای آن خود دچار تغییر شکل می‌شوند. برای نمونه اگر: الگو:چپ‌چین

[{𝐞_{i}}^{'}] = [L] [𝐞_{i}]

الگو:پایان چپ‌چین آنگاه الگو:چپ‌چین

C_{i j} ϵ_{i} ϵ_{j} = C_{i^{'} j} ϵ'_{i} ϵ'_{j} .

الگو:پایان چپ‌چین همچنین اگر ماده نسبت به ماتریس تغییر شکل $[L]$ متقارن باشد، آنگاه: الگو:چپ‌چین

C_{i j} = C'_{i j} ⟹ C_{i j} (ϵ_{i} ϵ_{j} - ϵ'_{i} ϵ'_{j}) = 0 .

الگو:پایان چپ‌چین

مواد راست‌محور

الگو:نوشتار اصلی مواد راست‌محور الگو:به انگلیسی دارای سه صفحهٔ راست تقارن‌اند. اگر بردارهای پایهٔ ( $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}$ ) بردارهای نرمال صفحهٔ تقارن باشند، بنابراین رابطه‌های تغییر دستگاه مختصات به صورت زیر وارد می‌شوند: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{3} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{matrix}] [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \\ ϵ_{4} \\ ϵ_{5} \\ ϵ_{6} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین وارون رابطهٔ بالا چنین نوشته می‌شود:^[۱۲] الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} ϵ_{x x} \\ ϵ_{y y} \\ ϵ_{z z} \\ 2 ϵ_{y z} \\ 2 ϵ_{z x} \\ 2 ϵ_{x y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{ν_{x y}}{E_{x}} & - \frac{ν_{x z}}{E_{x}} & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ν_{y x}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{y}} & - \frac{ν_{y z}}{E_{y}} & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ν_{z x}}{E_{z}} & - \frac{ν_{z y}}{E_{z}} & \frac{1}{E_{z}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{y z}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{z x}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{x y}} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{z z} \\ σ_{y z} \\ σ_{z x} \\ σ_{x y} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین که در آن:

E_{i}

مدول یانگ در طول محور

i

است.

G_{i j}

مدول برشی در راستای

j

در صفحه‌ای که بردار عمود بر سطحش در راستای

i

است.

ν_{i j}

ضریب پواسون است که برای فشردگی در راستای

j

هنگامی که در راستای

i

کشیدگی داشته باشیم.

در صفحهٔ تنش $σ_{z z} = σ_{z x} = σ_{y z} = 0$ است. قانون هوک برای یک مادهٔ راست‌محور به صورت زیر در می‌آید: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} ε_{x x} \\ ε_{y y} \\ 2 ε_{x y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{ν_{x y}}{E_{x}} & 0 \\ - \frac{ν_{y x}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{y}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{G_{x y}} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{x y} \end{matrix}] .

الگو:پایان چپ‌چین وارون رابطه خواهد بود: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{x y} \end{matrix}] = \frac{1}{1 - ν_{x y} ν_{y x}} [\begin{matrix} E_{x} & ν_{x y} E_{y} & 0 \\ ν_{y x} E_{x} & E_{y} & 0 \\ 0 & 0 & G_{x y} (1 - ν_{x y} ν_{y x}) \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{x x} \\ ε_{y y} \\ 2 ε_{x y} \end{matrix}] .

الگو:پایان چپ‌چین

مواد همسان جانبی

یک مادهٔ همسان جانبی با چرخش نسبت به یک محور تقارن همسان باقی می‌ماند. برای چنین ماده‌ای اگر $𝐞_{3}$ محور تقارن باشد، قانون هوک چنین نوشته می‌شود: الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{3} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} (C_{11} - C_{12}) \end{matrix}] [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \\ ϵ_{4} \\ ϵ_{5} \\ ϵ_{6} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین معمول است که $x \equiv 𝐞_{1}$ را محور تقارن در نظر بگیرند، حال وارون رابطه چنین خواهد بود:^[۱۳] الگو:چپ‌چین

[\begin{matrix} ϵ_{x x} \\ ϵ_{y y} \\ ϵ_{z z} \\ 2 ϵ_{y z} \\ 2 ϵ_{z x} \\ 2 ϵ_{x y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{E_{x}} & - \frac{ν_{x y}}{E_{x}} & - \frac{ν_{x y}}{E_{x}} & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ν_{y x}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{y}} & - \frac{ν_{y z}}{E_{y}} & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ν_{y x}}{E_{y}} & - \frac{ν_{z y}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{y}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2 (1 + ν_{y z})}{E_{y}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{x y}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{G_{x y}} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{z z} \\ σ_{y z} \\ σ_{z x} \\ σ_{x y} \end{matrix}]

الگو:پایان چپ‌چین

پایهٔ ترمودینامیکی قانون هوک

تغییر شکل‌های خطی مواد کشسان را می‌توان به مفهوم فرایند بی‌دررو نزدیک دانست. با فرض این وضعیت و برای فرایندهای شِبهِ ایستا، قانون اول ترمودینامیک برای یک حجم تغییر شکل یافته به صورت زیر گفته می‌شود: الگو:چپ‌چین

δ W = δ U

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $δ U$ انرژی درونی افزایش یافته و $δ W$ کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی خارجی است. اجزای کار را می‌توان به صورت زیر از هم جدا کرد: الگو:چپ‌چین

δ W = δ W_{s} + δ W_{b}

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $δ W_{s}$ کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی سطحی است و $δ W_{b}$ کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی حجمی است. اگر $δ 𝐮$ تغییرات میدان جابجایی $𝐮$ در حجم باشد؛ در نتیجه دو بخش کار خارجی به صورت زیر توضیح داده می‌شود: الگو:چپ‌چین

δ W_{s} = \int_{\partial Ω} 𝐭 \cdot δ 𝐮 d S; δ W_{b} = \int_{Ω} 𝐛 \cdot δ 𝐮 d V

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $𝐭$ بردار نیروی سطحی و $𝐛$ بردار نیروی حجمی و $Ω$ نشان دهندهٔ یک حجم و $\partial Ω$ نشانهٔ سطح آن است. حال از رابطهٔ تنش $𝐭 = 𝐧 \cdot σ$ (که در آن $𝐧$ بردار عمود بر سطح رو به بیرون $\partial Ω$ است) استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

δ W = δ U = \int_{\partial Ω} (𝐧 \cdot σ) \cdot δ 𝐮 d S + \int_{Ω} 𝐛 \cdot δ 𝐮 d V

الگو:پایان چپ‌چین با تبدیل انتگرال سطحی به انتگرال حجمی با استفاده از نظریهٔ دیورژانس خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

δ U = \int_{Ω} [\nabla \cdot (σ \cdot δ 𝐮) + 𝐛 \cdot δ 𝐮] d V .

الگو:پایان چپ‌چین با کاربرد تنش کوشی: الگو:چپ‌چین

\nabla \cdot (𝑨 \cdot 𝐛) = (\nabla \cdot 𝑨) \cdot 𝐛 + \frac{1}{2} [𝑨^{T} : \nabla 𝐛 + 𝑨 : (\nabla 𝐛)^{T}]

الگو:پایان چپ‌چین داریم: الگو:چپ‌چین

δ U = \int_{Ω} [σ : \frac{1}{2} {\nabla δ 𝐮 + (\nabla δ 𝐮)^{T}} + {\nabla \cdot σ + 𝐛} \cdot δ 𝐮] d V .

الگو:پایان چپ‌چین از تعریف کرنش و معادلات تعادل بدست می‌آید که: الگو:چپ‌چین

δ ϵ = \frac{1}{2} [\nabla δ 𝐮 + (\nabla δ 𝐮)^{T}]; \nabla \cdot σ + 𝐛 = 𝟎 .

الگو:پایان چپ‌چین بنابراین می‌توان نوشت: الگو:چپ‌چین

δ U = \int_{Ω} σ : δ ϵ d V

الگو:پایان چپ‌چین پس برای تغییرات چگالی انرژی درونی داریم: الگو:چپ‌چین

δ U_{0} = σ : δ ϵ .

الگو:پایان چپ‌چین یک مادهٔ کشسان ماده‌ای است که در آن تمامی انرژی درونی برابر است با انرژی پتانسیل نیروهای درونی (همچنین آن را انرژی تغییر شکل‌های کشسان نیز می‌نامند) بنابراین چگالی انرژی درونی تابعی از تغییر شکل‌ها $U_{0} = U_{0} (ϵ)$ می‌باشد. تغییرات انرژی درونی را به صورت زیر می‌توان نوشت: الگو:چپ‌چین

δ U_{0} = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ} : δ ϵ .

الگو:پایان چپ‌چین از آن جایی که تغییرات کرنش دلخواه است، رابطهٔ تنش - کرنش یک مادهٔ کشسان به صورت زیر داده می‌شود: الگو:چپ‌چین

σ = \frac{\partial U_{0}}{\partial ϵ} .

الگو:پایان چپ‌چین برای یک مادهٔ کشسان خطی، کمیت $\partial U_{0} / \partial ϵ$ یک تابع خطی از $ϵ$ است پس می‌توان آن را به شکل زیر نوشت: الگو:چپ‌چین

σ = 𝖼 : ϵ

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $𝖼$ یک تانسور مرتبه چهارم از ثابت‌های ماده‌است که آن را تانسور سفتی نیز می‌نامند.

جستارهای وابسته

یادداشت و منبع

الگو:چپ‌چین الگو:پانویس

A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity, 4th ed

الگو:پایان چپ‌چین

پپوند به بیرون

استفاده از جاوا برای نمایش حرکت‌ها در قانون هوک الگو:Webarchive

الگو:Navbox

رابطه‌های تبدیل مدول‌ها به یکدیگر
خواص کشسانی مواد کشسان خطی همگن و همسانگرد را می‌توان با داشتن دو مدول دلخواه به طور کامل و منحصر به فردی تعیین کرد. بنابراین با در دست داشتن دو مدول و با استفاده از فرمول‌های زیر می‌توان سایر مدول‌ها را محاسبه کرد.
	$K =$	$E =$	$λ =$	$G =$	$ν =$	$M =$	توضیحات
$(K, E)$	$K$	$E$	$\frac{3 K (3 K - E)}{9 K - E}$	$\frac{3 K E}{9 K - E}$	$\frac{3 K - E}{6 K}$	$\frac{3 K (3 K + E)}{9 K - E}$
$(K, λ)$	$K$	$\frac{9 K (K - λ)}{3 K - λ}$	$λ$	$\frac{3 (K - λ)}{2}$	$\frac{λ}{3 K - λ}$	$3 K - 2 λ$
$(K, G)$	$K$	$\frac{9 K G}{3 K + G}$	$K - \frac{2 G}{3}$	$G$	$\frac{3 K - 2 G}{2 (3 K + G)}$	$K + \frac{4 G}{3}$
$(K, ν)$	$K$	$3 K (1 - 2 ν)$	$\frac{3 K ν}{1 + ν}$	$\frac{3 K (1 - 2 ν)}{2 (1 + ν)}$	$ν$	$\frac{3 K (1 - ν)}{1 + ν}$
$(K, M)$	$K$	$\frac{9 K (M - K)}{3 K + M}$	$\frac{3 K - M}{2}$	$\frac{3 (M - K)}{4}$	$\frac{3 K - M}{3 K + M}$	$M$
$(E, λ)$	$\frac{E + 3 λ + R}{6}$	$E$	$λ$	$\frac{E - 3 λ + R}{4}$	$\frac{2 λ}{E + λ + R}$	$\frac{E - λ + R}{2}$	$R = \sqrt{E^{2} + 9 λ^{2} + 2 E λ}$
$(E, G)$	$\frac{E G}{3 (3 G - E)}$	$E$	$\frac{G (E - 2 G)}{3 G - E}$	$G$	$\frac{E}{2 G} - 1$	$\frac{G (4 G - E)}{3 G - E}$
$(E, ν)$	$\frac{E}{3 (1 - 2 ν)}$	$E$	$\frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$	$\frac{E}{2 (1 + ν)}$	$ν$	$\frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)}$
$(E, M)$	$\frac{3 M - E + S}{6}$	$E$	$\frac{M - E + S}{4}$	$\frac{3 M + E - S}{8}$	$\frac{E - M + S}{4 M}$	$M$	$S = \pm \sqrt{E^{2} + 9 M^{2} - 10 E M}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $ν \geq 0$ . The minus sign leads to $ν \leq 0$ .
$(λ, G)$	$λ + \frac{2 G}{3}$	$\frac{G (3 λ + 2 G)}{λ + G}$	$λ$	$G$	$\frac{λ}{2 (λ + G)}$	$λ + 2 G$
$(λ, ν)$	$\frac{λ (1 + ν)}{3 ν}$	$\frac{λ (1 + ν) (1 - 2 ν)}{ν}$	$λ$	$\frac{λ (1 - 2 ν)}{2 ν}$	$ν$	$\frac{λ (1 - ν)}{ν}$	Cannot be used when $ν = 0 \Leftrightarrow λ = 0$
$(λ, M)$	$\frac{M + 2 λ}{3}$	$\frac{(M - λ) (M + 2 λ)}{M + λ}$	$λ$	$\frac{M - λ}{2}$	$\frac{λ}{M + λ}$	$M$
$(G, ν)$	$\frac{2 G (1 + ν)}{3 (1 - 2 ν)}$	$2 G (1 + ν)$	$\frac{2 G ν}{1 - 2 ν}$	$G$	$ν$	$\frac{2 G (1 - ν)}{1 - 2 ν}$
$(G, M)$	$M - \frac{4 G}{3}$	$\frac{G (3 M - 4 G)}{M - G}$	$M - 2 G$	$G$	$\frac{M - 2 G}{2 M - 2 G}$	$M$
$(ν, M)$	$\frac{M (1 + ν)}{3 (1 - ν)}$	$\frac{M (1 + ν) (1 - 2 ν)}{1 - ν}$	$\frac{M ν}{1 - ν}$	$\frac{M (1 - 2 ν)}{2 (1 - ν)}$	$ν$	$M$

↑ الگو:Cite video
↑ الگو:Cite video
↑ The anagram was "ceiiinosssttuv", [۱] الگو:Webarchive; cf. the anagram for the Catenary, which appeared in the preceding paragraph.
↑ Dieter George E. ,Mechanical Metallurgy, McGraw-Hill, New York ,1961 ,pp 16,37
↑ الگو:Cite book
↑ Simo, J. C. and Hughes, T. J. R. , 1998, Computational Inelasticity, Springer.
↑ Milton, G. W. , 2002, Theory of Composites, Cambridge University Press.
↑ minor symmetries
↑ major symmetries
↑ دستگاهی با بردارهای یکه و دو به دو متعامد
↑ Slaughter, W. S. , 2002, The Linearized Theory of Elasticity, Birkhauser
↑ Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M. , 1993, Advanced Mechanics of Materials, Wiley.
↑ Tan, S. C. , 1994, Stress Concentrations in Laminated Composites, Technomic Publishing Company, Lancaster, PA.

[1] الگو:Cite video

[2] الگو:Cite video

[3] The anagram was "ceiiinosssttuv", [۱] الگو:Webarchive; cf. the anagram for the Catenary, which appeared in the preceding paragraph.

[4] Dieter George E. ,Mechanical Metallurgy, McGraw-Hill, New York ,1961 ,pp 16,37

[5] الگو:Cite book

[Simo98-6] Simo, J. C. and Hughes, T. J. R. , 1998, Computational Inelasticity, Springer.

[Milton02-7] Milton, G. W. , 2002, Theory of Composites, Cambridge University Press.

[8] r symmetries

[9] r symmetries

[10] دستگاهی با بردارهای یکه و دو به دو متعامد

[Slaughter-11] Slaughter, W. S. , 2002, The Linearized Theory of Elasticity, Birkhauser

[Boresi-12] Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M. , 1993, Advanced Mechanics of Materials, Wiley.

[Tan-13] Tan, S. C. , 1994, Stress Concentrations in Laminated Composites, Technomic Publishing Company, Lancaster, PA.

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

[۱۲]

[۱۳]

قانون هوک

فهرست

کاربرد عمومی برای مواد کشسانی

معادلهٔ فنر

سامانه‌ای با چندین فنر

اثبات

بیان تانسوری قانون هوک

مواد همسان

تنش‌های صفحه‌ای در قانون هوک

مواد ناهمسان

نمایش ماتریسی (تانسور سفتی)

تغییر دستگاه مختصات

مواد راست‌محور

مواد همسان جانبی

پایهٔ ترمودینامیکی قانون هوک

جستارهای وابسته

یادداشت و منبع

پپوند به بیرون

منوی ناوبری

قانون هوک

کاربرد عمومی برای مواد کشسانی

معادلهٔ فنر

سامانه‌ای با چندین فنر

اثبات

بیان تانسوری قانون هوک

مواد همسان

تنش‌های صفحه‌ای در قانون هوک

مواد ناهمسان

نمایش ماتریسی (تانسور سفتی)

تغییر دستگاه مختصات

مواد راست‌محور

مواد همسان جانبی

پایهٔ ترمودینامیکی قانون هوک

جستارهای وابسته

یادداشت و منبع

پپوند به بیرون

منوی ناوبری

جستجو