انتگرال حجمی

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال انتگرال حجمیالگو:انگلیسی در ریاضیات - به‌ویژه، در حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره - اشاره به انتگرال بر روی یک دامنه سه‌بعدی دارد و به شکل زیر تعریف می‌شود: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{Vol}(D)=\underset{D}{\iiint }dxdydz.$

الگو:پایان چپ‌چین همچنین می‌توان این انتگرال را به صورت یک انتگرال سه‌گانه با محدوده D در دامنه اعداد حقیقی سه‌بعدی R³ برای تابع $f(x,y,z),$ نوشت: الگو:چپ‌چین

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz.$

الگو:پایان چپ‌چین همچنین برای دستگاه مختصات استوانه‌ای داریم: الگو:چپ‌چین

$\underset{D}{\iiint }f(r,\theta ,z)rdrd\theta dz,$

الگو:پایان چپ‌چین و برای دستگاه مختصات کروی داریم: الگو:چپ‌چین

$\underset{D}{\iiint }f(\rho ,\theta ,\varphi ){\rho }^2\sin \theta d\rho d\theta d\varphi .$

مثال

انتگرال تابع $f(x,y,z)=1$ روی مکعب واحد نتیجه زیر را می‌دهد: الگو:چپ‌چین $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}1dxdydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dz=1-0=1$ الگو:پایان چپ‌چین