سری دو جمله‌ای

سری دوجمله‌ای یک سری توانی است که در بسط دوجمله‌ای برای اعداد مختلط ظاهر می‌شود:

$(x+y{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^{\alpha -k}{y}^k$ .

اگر $\alpha$ عددی صحیح و منفی نباشد ($\alpha \ge 0$) تعداد ضرایب بسط دو جمله‌ای محدود و با $\alpha +1$ برابر خواهد بود. در این حالت خاص ضرایب سری همان ضرایب سری دو جمله‌ای هستند.

در حالت کلی‌تر ضرایب با عبارت پایین برابر خواهند بود؛ در اینجا ${\alpha }^{\underset{\_}{k}}$ همان فاکتوریل افتان است: الگو:وسط‌چین $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{{\alpha }^{\underset{\_}{k}}}{k!}=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}$ الگو:پایان وسط‌چین سری مکلورن موردی خاص از سری دوجمله‌ای است. در اینجا $f(x)=(1+x{)}^{\alpha },|x|<1,\alpha \in ℂ$ که به عبارت پایین بسط پیدا می‌کند: الگو:وسط‌چین

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\cdot x^k$ .

تاریخ

عمر خیام برای اولین بار سری دوجمله‌ای را برای کل اعداد مثبت در سال ۱۰۷۸ میلادی کشف کرد، این فرمول همان بسط دو جمله‌ای$(a+b{)}^n$ است. نیوتن در سال ۱۶۶۹ میلادی سری دو جمله‌ای $(1+x{)}^{\alpha }$ را برای هر عدد حقیقی $\alpha$ و تمام مقادیر حقیقی $x$ در فاصله $]-1,1[$ محاسبه کرد. آبل در سال ۱۸۶۲ میلادی سری دوجمله‌ای را برای $\alpha ,x\in ℂ$ محاسبه کرد؛ او ثابت کرد که اگر $\alpha \in ℂ\setminus \mathbb{N}$ باشد شعاع همگراییِ سری ۱ خواهد بود.

رابطه با سری هندسی

سری هندسی حالتی خاص از سری دو جمله‌ای است. اگر $\alpha =-1$ و $x$ را با $-x$ جایگزین کنیم به عبارت پایین می‌رسیم که همان سری هندسی است؛ در اینجا $(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{k})=(-1{)}^k$ است: الگو:وسط‌چین

$\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{k})(-x{)}^k.$

شرایط همگرایی

با فرض اینکه $|x|=1$ و $\alpha \in ℂ\setminus \mathbb{N}$ موارد ذیل را می‌توان اثبات کرد:

• ${\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k$ مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر $\mathrm{Re}(\alpha )>0$ یا $\alpha =0$.
• برای $x\ne -1$ سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر $\mathrm{Re}(\alpha )>-1$
• برای $x=-1$ سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر $\mathrm{Re}(\alpha )>0$ یا $\alpha =0$.

مثال‌ها

• $(1+x{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})x^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})x^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})x^2=1+2x+x^2$الگو:وسط‌چین
• الگو:پایان وسط‌چین$\frac{1}{1+x}=(1+x{)}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{k})x^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^k=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots$الگو:وسط‌چین
• الگو:پایان وسط‌چین$\sqrt{1+x}=(1+x{)}^{1/2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{k})x^k=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\frac{7x^5}{256}-\cdots$الگو:وسط‌چین
• الگو:پایان وسط‌چین$\frac{1}{\sqrt{1-x}}=(1-x{)}^{-1/2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1/2}{k})x^k=1+\frac{x}{2}+\frac{3x^2}{2}+\frac{5x^3}{6}+\frac{35x^4}{128}+\frac{63x^5}{256}+\cdots$الگو:وسط‌چین

جستارهای وابسته

• بسط دو جمله‌ای
• سری هندسی
• سری مکلورن