ثابت بهنجارسازی

از مفهوم ثابت بهنجارسازی الگو:به انگلیسی برای کاهش دادن هر «تابع احتمال» به یک «تابع چگالی احتمال» استفاده می‌شود، در تابع چگالی احتمال، احتمال کل برابر ۱ است.

کاربرد گسترده‌ای از ثابت بهنجارسازی در نظریهٔ احتمال و انواع زمینه‌های ریاضیات دیده می‌شود.

تعریف

در نظریه احتمال، یک ثابت بهنجارسازی نوعی ثابت است که یک تابع همه جا غیر منفی باید در آن ضرب می‌شود، و در نتیجه آن، مساحت زیر گراف برابر ۱ می‌شود، و مثلاً از آن برای ساخت یک تابع چگالی احتمال یا یک تابع جرم احتمال استفاده می‌شود.

مثال

اگر از تابع گاوسی شروع کنیم

$p(x)=e^{-x^2/2},x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

ما انتگرال گاوسی متناظر زیر را داریم

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi },$

حال اگر ما از مقدار وارون آخری به عنوان ثابت بهنجارسازی برای اولی استفاده کنیم، می‌توان یک تابع $\phi (x)$ را به صورت زیر تعریف کرد

$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$

در نتیجه این کار انتگرال آن برابر واحد ۱ است

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=1$

آن موقع تابع $\phi (x)$ یک تابع چگالی احتمال است؛ که چگالی توزیع نرمال استاندارد است. (استاندارد، در این حالت، یعنی امید ریاضی برابر ۰ و واریانس برابر ۱ است).

در اینجا ثابت $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ همان «ثابت بهنجارسازی» برای تابع $p(x)$ است.