واریانس

وردایی یا واریانس الگو:به انگلیسی در نظریه احتمالات و آمار، نوعی سنجش پراکندگی است.

مقدار واریانس با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه می‌شود. در مقایسه با میانگین می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که واریانس مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. واریانس کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای واریانس مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم واریانس که انحراف معیار نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.

واریانس یا وردایی عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول مقدار میانگین پخش می‌شوند. برای تعریف واریانس اگر فرض کنیم که متغیر تکی $X$ دارای توزیع $p(x)$ است و متوسط توزیع جمعیت آن را با $\mu$ نشان دهیم آنگاه واریانس این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌شود: الگو:وسط‌چین $Var(X)={\sigma }^2\equiv ⟨(X-\mu {)}^2⟩$ الگو:پایان

حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای احتمال $p(x)$ باشد، واریانس به صورت زیر محاسبه می‌شود: الگو:وسط‌چین ${\sigma }^2=\sum _{i=1}^{N}p(x_i)(x_i-\mu {)}^2$ الگو:پایان

اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت واریانس را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:

الگو:وسط‌چین $S_N^2\equiv \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$ الگو:پایان در این رابطه $\bar{x}$ میانگین (امید ریاضی) داده‌هاست که خود از رابطهٔ زیر حساب می‌شود: الگو:وسط‌چین

$\bar{x}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$

الگو:پایان البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای واریانس نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از واریانس تصحیح شده‌استفاده می‌کنیم که به صورت زیر تعریف می‌گردد الگو:وسط‌چین $S_{N-1}^2\equiv \frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2$ الگو:پایان

تعریف

اگر $\mu =\mathrm{E}(X)$، امید ریاضی (میانگین) متغیر کاتوره‌ای $X$ باشد، آنگاه واریانس $X$ برابر خواهد بود با: الگو:وسط‌چین

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]\\ & =\mathrm{E}[X^2-2\mu X+{\mu }^2]\\ & =\mathrm{E}[X^2]-2\mu \mathrm{E}[X]+{\mu }^2\\ & =\mathrm{E}[X^2]-2{\mu }^2+{\mu }^2\\ & =\mathrm{E}[X^2]-{\mu }^2\\ & =\mathrm{E}[X^2]-(\mathrm{E}[X]{)}^2.\end{array}$

الگو:پایانبرای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود واریانس برابر است با «میانگین مجذور، منهای مجذور میانگین». واریانس متغیر کاتوره‌ای X را معمولاً با Var(X)الگو:چر یا ${\sigma }_X^2$ یا به صورت ساده‌تر σ² (تلفظ می‌شود سیگما-دو) نمایش می‌دهند.

حالت گسسته

اگر $X$یک متغیر کاتوره‌ای با تابع جرم احتمال به این شکل باشد $x_1\mapsto p_1,x_2\mapsto p_2,\dots ,x_n\mapsto p_n$ آنگاه واریانس آن به این شکل محاسبه می‌شود. الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Var}(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i\cdot (x_i-\mu {)}^2,$

عبارت پیشین با معادله پایین معادل است: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Var}(X)=\left(\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i^2\right)-{\mu }^2,$

در اینجا $\mu$ امید ریاضی $X$ است. الگو:وسط‌چین

$\mu =\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i.$

واریانس $n$مقدار که از لحاظ احتمال با یکدیگر برابرند با عبارت پایین برابر خواهد بود: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2,$

در اینجا $\mu$ میانگین $n$داده‌است: الگو:وسط‌چین

$\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i.$

البته واریانس این $n$ داده را بدون در نظرگرفتن میانگین آن‌ها هم می‌شود به شکل پایین محاسبه کرد: الگو:وسط‌چین

$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{2}(x_i-x_j{)}^2=\frac{1}{n^2}\sum _i\sum _{j>i}(x_i-x_j{)}^2.$

حالت پیوسته

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2& =\int (x-\mu {)}^{2}f(x)dx\\ & =\int x^{2}f(x)dx-2\mu \int xf(x)dx+\int {\mu }^{2}f(x)dx\\ & =\int x^{2}dF(x)-2\mu \int xdF(x)+{\mu }^2\int dF(x)\\ & =\int x^{2}dF(x)-2\mu \cdot \mu +{\mu }^2\cdot 1\\ & =\int x^{2}dF(x)-{\mu }^2,\end{array}$

الگو:پایان در اینجا میانگین یا $\mu$ به این شکل محاسبه می‌شود: الگو:وسط‌چین

$\mu =\int xf(x)dx,$

خواص

واریانس همیشه نامنفی است:

$\mathrm{Var}(X)\ge 0.$الگو:سخ

واریانس متغیر کاتوره‌ای ثابت همیشه صفر است به این معنی که:

$P(X=a)=1⟺\mathrm{Var}(X)=0.$الگو:سخ

اگر به متغیر کاتوره‌ای مقداری ثابت اضافه شود در واریانس متغیر کاتوره‌ای جدید تغییری ایجاد نمی‌شود:

$\mathrm{Var}(X+a)=\mathrm{Var}(X).$الگو:سخ

اگر متغیر کاتوره‌ای در مقداری ثابت ضرب شود، واریانس متغیر کاتوره‌ای جدید در مربع مقدار ثابت قبلی ضرب می‌شود:

$\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X).$الگو:سخ

واریانس ترکیب خطی دو متغیر کاتوره‌ای به این شکل محاسبه می‌شود:

$\mathrm{Var}(aX+bY)=a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y),$

$\mathrm{Var}(aX-bY)=a^2\mathrm{Var}(X)+b^2\mathrm{Var}(Y)-2ab\mathrm{Cov}(X,Y),$الگو:سخ

به صورت کلی واریانس جمع $N$ متغیر کاتوره‌ای به شکل پایین محاسبه می‌شود:

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\right)=\sum _{i,j=1}^N\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\sum _{i=1}^N\mathrm{Var}(X_i)+\sum _{i\ne j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$الگو:سخ

واریانس ترکیب خطی $N$ متغیر کاتوره‌ای به شکل پایین محاسبه میشود:

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^N{a}_i{X}_i\right)& =\sum _{i,j=1}^N{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\\ & =\sum _{i=1}^N{a}_i^2\mathrm{Var}(X_i)+\sum _{i=j}{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\\ & =\sum _{i=1}^N{a}_i^2\mathrm{Var}(X_i)+2\sum _{1\le i<j\le N}{a}_i{a}_j\mathrm{Cov}(X_i,X_j).\end{array}$الگو:سخ

اگر کوواریانس این متغیرهای کاتوره‌ای نسبت به هم صفر باشد یعنی $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0,\mathrm{\forall }(i\ne j),$ آنگاه:

$\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^N{X}_i\right)=\sum _{i=1}^N\mathrm{Var}(X_i).$

مثال

تاس

اگر یک تاس داشته باشیم که احتمال آمدن هر عدد $\frac{1}{6}$ باشد، آنگاه امید ریاضی تاس با $\frac{(1+2+3+4+5+6)}{6}$ برابر خواهد بود و واریانس تاس می‌شود: الگو:وسط‌چین

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\sum _{i=1}^6\frac{1}{6}{(i-\frac{7}{2})}^2\\ & =\frac{1}{6}((-5/2{)}^2+(-3/2{)}^2+(-1/2{)}^2+(1/2{)}^2+(3/2{)}^2+(5/2{)}^2)\\ & =\frac{35}{12}\approx 2.92.\end{array}$

به صورت کلی‌تر اگر یک متغیر گسسته کاتوره‌ای داشته باشیم که $n$ مقدار بگیرد و احتمال هر کدام از این مقادیر $\frac{1}{n}$ باشد، واریانس متغیر کاتوره‌ای ما برابر خواهد بود با: الگو:سخ الگو:وسط‌چین

$\begin{array}{cc}\mathrm{Var}(X)& =\mathrm{E}(X^2)-(\mathrm{E}(X){)}^2\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{i}^2-{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}i\right)}^2\\ & =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{n^2-1}{12}.\end{array}$

توزیع نرمال

توزیع نرمال با تابع چگالی احتمال $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$ و پارامترهای $\mu$ و $\sigma$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$\mathrm{Var}(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx-{\mu }^2={\sigma }^2$

توزیع نمایی

توزیع نمایی با تابع چگالی احتمال $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ و پارامتر $\lambda$ به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه $\mu ={\lambda }^{-1}$: الگو:وسط‌چین $\mathrm{Var}(X)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\lambda e^{-\lambda x}dx-{\mu }^2={\lambda }^{-2}$ الگو:پایان

توزیع پواسون

توزیع پواسون با تابع چگالی احتمال $p(k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$ و پارامتر $\lambda$ به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه $\mu =\lambda$: الگو:وسط‌چین $\mathrm{Var}(X)=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^2\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }\right)-{\mu }^2=\lambda$ الگو:پایان

توزیع دوجمله‌ای

توزیع دوجمله‌ای با تابع چگالی احتمال $p(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$ و پارامتر $n$ و $p$ به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه $\mu =np$: الگو:وسط‌چین $\mathrm{Var}(X)=(\sum _{k=0}^n{k}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k})-{\mu }^2=np(1-p)$ الگو:پایان

واژه‌شناسی

فرهنگستان زبان فارسی، وردیدن از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to vary برگزیده است و از این فعل مشتقات وردایی (variance)،وردش (variation)، وردا (variant)، هم‌وردا (covariant)، هم وردایی (covariance)، ناوردا (invariant)، ناوردایی (invariance)، پادوردا (contravariance) را برساخته است.

تخمین واریانس یک تابع

برای تخمین واریانس یک تابع از بسط تیلور آن به صورت پایین استفاده می‌کنند:الگو:وسط‌چین $\mathrm{Var}[f(X)]\approx {(f^{\prime }(\mathrm{E}\left[X\right]))}^2\mathrm{Var}\left[X\right]$ الگو:پایان

جستارهای وابسته

• انحراف معیار
• امید ریاضی
• کوواریانس
• چولگی
• کشیدگی (کورتزیس)

منابع

page ۱۱۷٬۴۳ introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross الگو:پانویس الگو:یادکرد-ویکی الگو:آمار الگو:داده‌های کتابخانه‌ای الگو:نظریه توزیع‌های احتمال