توزیع دوجمله‌ای

توزیع دوجمله‌ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است. در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌ است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p(توزیع برنولی). در واقع متغیر تصادفی X (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند.

یک آزمایش دوجمله‌ای بایستی دارای ویژگی‌های زیر باشد:

• آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
• نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
• احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با الگو:وسط‌چینالگو:چپ‌چینq=1-pالگو:پایان چپ‌چینالگو:پایان
• آزمون‌ها مستقل باشند.

توزیع دوجمله‌ای برای p=۰٫۵ , مثلث خیام _ پاسکال

مشخصه‌ها

تابع جرم احتمال

درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به‌صورت (X ~ B(n, p نمایش می‌دهیم. احتمال بدست‌آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می‌شود: الگو:چپ‌چین

$p(k)=\mathrm{Pr}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}fork=0,1,2,...,n$

الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخحال می‌خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست‌آمده‌است: توجه کنید که تعداد راه‌های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می‌تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله‌های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a (موفقیت) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله‌ها برابر است با $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ ، زیرا تعداد جایگشت‌های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. باتوجه به استقلال امتحان‌ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر $p^k(1-p{)}^{n-k}$ است داریم: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{Pr}(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخدلیل اینکه به این توزیع دوجمله‌ای می‌گویند این است که قضیهٔ بسط دوجمله‌ای تضمین می‌کند که $p(k)$ یک تابع جرم احتمال است: الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$\sum _{k=0}^{n}p(k)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(1-p{)}^{n-k}{p}^k=[p+(1-p){]}^n=1^n=1$

تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله‌ای به‌شکل زیر است: الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$F(k;n,p)=\mathrm{Pr}(X\le k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}$

مثال

اگر یک تیرانداز با احتمال ۰/۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛ الگو:سخ ابتدا توزیع احتمال x را معلوم کنید و هر یک از احتمال‌های زیر را به دست آورید. الگو:سخ الف- دقیقاً ۳ تیر به هدف بزند. الگو:سخ ب- حداکثر ۲ تیر به هدف بزند. الگو:سخ ج- هیچ تیری به هدف نزند. الگو:سخ متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم: الگو:سخ الگو:چپ‌چین$p(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(0.7{)}^k(0.3{)}^{5-k}$الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ برای به دست آوردن احتمالات در این مثال داریم: الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})(0.7{)}^3(0.3{)}^2=0.3087$

$P(X\le 2)=p(0)+p(1)+p(2)=0.16308$الگو:پایان چپ‌چین

$P(X=0)=p(0)=0.00243$الگو:پایان چپ‌چین

میانگین و واریانس متغیرهای تصادفی دوجمله‌ای

فرض کنید $X$ یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای $n$ و $p$ باشد. به‌طور شهودی انتظار داریم که میانگین $X$ برابر $np$ باشد. مثلاً اگر سکهٔ سالمی را صد بار پرتاب کنیم، انتظار داریم به‌طور متوسط ۵۰ بار شیر مشاهده کنیم که برابر است با: $np=100*(1/2)$. فرمول: $\mathrm{E}[X]=np$ را می‌توان مستقیماً از تعریف امید ریاضی بدست‌آورد. در زیر این فرمول‌های امید ریاضی و واریانس این متغیر را آورده‌ایم: الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\mathrm{E}[X]=np$الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\mathrm{Var}[X]=np(1-p).$الگو:پایان چپ‌چین

مثال

تاسی را ۳ بار پرتاب می‌کنیم. اگر متغیر تصادفی $X$ تعداد تاسهایی که شش آمده باشد، تابع احتمال $X$ را بنویسید و امید ریاضی و واریانس آن را محاسبه کنید. الگو:سخ چون پرتاب‌ها از یکدیگر مستقل اند و احتمال موفقیت (شش آمدن) در هر پرتاب ۱/۶ است و این آزمایش n=۳ بار تکرار می‌شود، بنابراین شرایط توزیع دوجمله‌ای با$p=\frac{1}{6}$، n=۳ برقرار است و توزیع احتمال X را به صورت زیر می‌نویسیم: الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$p(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k})(1/6{)}^k(5/6{)}^{3-k}$for\quad k=0,1,2,3

الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\mathrm{E}[X]=np=3*\frac{1}{6}$الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ الگو:چپ‌چین $\mathrm{Var}[X]=np(1-p)=3*\frac{1}{6}*\frac{5}{6}$ الگو:پایان چپ‌چین

منابع

• الگو:یادکرد وب
• page 27,37 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
• الگو:یادکرد

دانش اسدی دانشجوی امار الگو:پانویس الگو:توزیع‌های احتمالات