تبدیل ملین

تبدیل ملین الگو:به انگلیسی در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که به صورت فرم ضربی تبدیل لاپلاس دوسویه در نظر گرفته می‌شود. این تبدیل انتگرالی بسیار به سری دیریچلت وابسته است و معمولاً از آن در نظریهٔ اعداد و نظریه سری‌های مجانبی مورد استفاده قرار می‌گیرد؛ تبدیل ملین به تبدیل‌های لاپلاس، فوریه و نظریه تابع گاما مرتبط است و جزو توابع مخصوص ریاضیات به‌شمار می‌آید.

تبدیل تابع $f$ توسط تبدیل ملین به شکل زیر صورت می‌گیرد: الگو:وسط‌چین ${ℳ f} (s) = φ (s) = \int_{0}^{\infty} x^{s - 1} f (x) d x .$ الگو:پایان وسط‌چین تبدیل معکوس نیز اینگونه تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین ${ℳ^{- 1} φ} (x) = f (x) = \frac{1}{2 π i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} x^{- s} φ (s) d s .$ الگو:پایان وسط‌چین

فرمول نشان می‌دهد که این تبدیل یک انتگرال خطی بر روی یک خط عمودی در صفحه مختلط است.

نام این تبدیل از نام هیالمار ملین، ریاضیدان بزرگ فنلاندی گرفته شده‌است.

ارتباط با تبدیل‌های دیگر

تبدیل لاپلاس دوسویه را می‌توان به کمک تبدیل ملین به صورت زیر تعریف کرد: الگو:وسط‌چین ${ℬ f} (s) = {ℳ f (- \ln x)} (s)$ الگو:پایان وسط‌چین

و برعکس آن نیز به این ترتیب انجام می‌شود: الگو:وسط‌چین ${ℳ f} (s) = {ℬ f (e^{- x})} (s)$ الگو:پایان وسط‌چین

تبدیل فوریه را نیز می‌توان به وسیلهٔ تبدیل ملین به صورت زیر تعریف کرد: الگو:وسط‌چین ${ℱ f} (- s) = {ℬ f} (- i s) = {ℳ f (- \ln x)} (- i s)$ الگو:پایان وسط‌چین و عکس آن نیز از روش زیر امکان‌پذیر است: الگو:وسط‌چین ${ℳ f} (s) = {ℬ f (e^{- x})} (s) = {ℱ f (e^{- x})} (- i s)$ الگو:پایان وسط‌چین

برای $c > 0$ ، $ℜ (y) > 0$ و $y^{- s}$ بر روی شاخه اصلی، به دست می‌آید: الگو:وسط‌چین $e^{- y} = \frac{1}{2 π i} \int_{c - i \infty}^{c + i \infty} Γ (s) y^{- s} d s$ الگو:پایان وسط‌چین

که در آن $Γ (s)$ تابع گاماست. این انتگرال با نام انتگرال کاهن-ملین شناخته شده است.^[۱]

یکی از کاربردهای مهم در نظریه اعداد تابع سادهٔ $f (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 1, \\ x^{a} & x > 1, \end{matrix}$ را شامل می‌شود که در آن داریم الگو:وسط‌چین $ℳ f (s) = - \frac{1}{s + a}$ الگو:پایان وسط‌چین

با فرض این‌که $ℜ (s + a) < 0$ .

↑ الگو:Cite journal (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)