فهرست انتگرال‌های توابع گوسی

الگو:تمیزکاری در این عبارت‌ها، $\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}$ توزیع نرمال تابع چگالی احتمال است و $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\varphi (t)dt=\frac{1}{2}(1+\mathrm{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}}\left)\right)$ تابع توزیع تجمعی مربوط به آن است که در آن erf، تابع خطا و $T(h,a)=\varphi (h)\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{\varphi (hx)}{1+x^2}dx$ می‌باشد.

در پایین چند نمونه انتگرال آمده‌است:

انتگرال‌های نامعین

$\int \varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }(x)+C$

$\int x\varphi (x)dx=-\varphi (x)+C$

$\int x^2\varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }(x)-x\varphi (x)+C$

$\int x^{2k+1}\varphi (x)dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^k\frac{(2k)!!}{(2j)!!}{x}^{2j}+C$

$\int x^{2k+2}\varphi (x)dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}{x}^{2j+1}+(2k+1)!!\mathrm{\Phi }(x)+C$

(در این انتگرال‌ها، الگو:عبارت چپچین همان دابل فاکتوریل است یعنی: برای nهای زوج برابر است با حاصل ضرب ۲ تا n و برای nهای فرد برابر است با حاصل ضرب ۱ تا n همچنین فرض می‌شود که الگو:عبارت چپچین)

$\int \varphi (x{)}^{2}dx=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\mathrm{\Phi }(x\sqrt{2})+C$

$\int \varphi (x)\varphi (a+bx)dx=\frac{1}{t}\varphi (a/t)\mathrm{\Phi }(tx+ab/t)+C,t=\sqrt{1+b^2}$

$\int x\varphi (a+bx)dx=-\frac{1}{b^2}\varphi (a+bx)-\frac{a}{b^2}\mathrm{\Phi }(a+bx)+C$

$\int x^2\varphi (a+bx)dx=\frac{a^2+1}{b^3}\mathrm{\Phi }(a+bx)+\frac{a-bx}{b^3}\varphi (a+bx)+C$

$\int \varphi (a+bx{)}^{n}dx=\frac{(2\pi {)}^{-(n-1)/2}}{b\sqrt{n}}\mathrm{\Phi }(\sqrt{n}(a+bx))+C$

$\int \mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{1}{b}(a+bx)\mathrm{\Phi }(a+bx)+\frac{1}{b}\varphi (a+bx)+C$

$\int x\mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{1}{2b^2}((b^2{x}^2-a^2-1)\mathrm{\Phi }(a+bx)+(bx-a)\varphi (a+bx))+C$

$\int x^2\mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{1}{3b^3}((b^3{x}^3+a^3+3a)\mathrm{\Phi }(a+bx)+(b^2{x}^2-abx+a^2+2)\varphi (a+bx))+C$

$\int x^n\mathrm{\Phi }(x)dx=\frac{1}{n+1}((x^{n+1}-n{x}^{n-1})\mathrm{\Phi }(x)+x^n\varphi (x)+n(n-1)\int x^{n-2}\mathrm{\Phi }(x)dx)+C$

$\int x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(a+bx)dx=\frac{b}{t}\varphi (a/t)\mathrm{\Phi }(xt+ab/t)-\varphi (x)\mathrm{\Phi }(a+bx)+C,t=\sqrt{1+b^2}$

$\int \mathrm{\Phi }(x{)}^{2}dx=x\mathrm{\Phi }(x{)}^2+2\mathrm{\Phi }(x)\varphi (x)-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Phi }(x\sqrt{2})+C$

$\int e^{cx}\varphi (bx{)}^{n}dx=\frac{1}{b\sqrt{n(2\pi {)}^{n-1}}}{e}^{c^2/(2n{b}^2)}\mathrm{\Phi }(bx\sqrt{n}-\frac{c}{b\sqrt{n}})+C,b\ne 0,n>0$

انتگرال‌های معین

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\varphi (x{)}^{n}dx=(n^{3/2}(2\pi {)}^{(n-1)/2}{)}^{-1}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}\varphi (ax)\mathrm{\Phi }(bx)dx=(2\pi a{)}^{-1}\arctan (a/b)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (ax)\mathrm{\Phi }(bx)dx=(2\pi a{)}^{-1}(\frac{\pi }{2}-\arctan (b/a))$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx)dx=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}(1+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}})$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx)dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{2\pi }(\frac{b}{1+b^2}+\arctan b)$

$\int x\varphi (x{)}^2\mathrm{\Phi }(x)dx=\frac{1}{4\pi \sqrt{3}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(bx{)}^2\varphi (x)dx=(2\pi {)}^{-1}(\arctan b+\arctan \sqrt{1+2b^2})$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(a+bx{)}^2\varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}})-2T(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}},\frac{1}{\sqrt{1+2b^2}})$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\mathrm{\Phi }(a+bx{)}^2\varphi (x)dx=\frac{2b}{\sqrt{1+b^2}}\varphi (a/t)\mathrm{\Phi }(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+2b^2}})$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(bx{)}^2\varphi (x)dx={\pi }^{-1}\arctan \sqrt{1+2b^2}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\varphi (x)\mathrm{\Phi }(bx{)}^{2}dx=\frac{b}{\sqrt{2\pi (1+b^2)}}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(a+bx)\varphi (x)dx=\mathrm{\Phi }(a/\sqrt{1+b^2})$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\mathrm{\Phi }(a+bx)\varphi (x)dx=(b/t)\varphi (a/t),t=\sqrt{1+b^2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\mathrm{\Phi }(a+bx)\varphi (x)dx=(b/t)\varphi (a/t)\mathrm{\Phi }(-ab/t)+(2\pi {)}^{-1/2}\mathrm{\Phi }(a),t=\sqrt{1+b^2}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (x^2)\frac{1}{\sigma }\varphi \left(\frac{x}{\sigma }\right)dx=\ln ({\sigma }^2)-\gamma -\ln 2\approx \ln ({\sigma }^2)-1.27036$

منابع

• الگو:Cite book
• الگو:Cite article

الگو:فهرست انتگرال‌ها