قضیه فیروزبخت

تابع شکاف اولیه

حدس فیروزبخت نام حدسی است در ریاضی در قسمت نظریه اعداد و توزیع اعداد اول که توسط فریده فیروزبخت استاد دانشگاه اصفهان در سال ۱۹۸۲ مطرح شده است.

حدسیه

حدس بیان می کند که $p_n^{1/n}$ یک تابع کاملاً کاهشی از n است، یعنی:

$\sqrt[n+1]{p_{n+1}}<\sqrt[n]{p_n}$ برای هر n≥۱

همچنین:

$p_{n+1}<p_n^{1+\frac{1}{n}}$ برای هر n≥۱

(مراجعه شود به: الگو:OEIS2C, الگو:OEIS2C)

فریده فیروزبخت با استفاده از جدول شکاف اعداد اول حدس خود را تا ۴٫۴۴۴الگو:E تأیید کرد. اکنون با جداول گسترده تر از شکاف اعداد اول، این حدس برای همه اعداد اول زیر 2⁶⁴ ≈ الگو:Val تأیید شده است.

اگر این حدسیه درست باشد آنگاه حدس کرامر نیز درست خواهد بود:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n\text{ for all }n>4.$

علاوه بر این:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n-1\text{ for all }n>9,$

(مراجعه شود به: الگو:OEIS2C)

این یکی از قوی ترین کرانه های بالایی است که برای شکاف های اعداد اول حدس زده شده است، حتی تا حدودی قوی تر از حدس های کرامر و شانکس. این دلالت بر شکلی قوی از حدس کرامر دارد و از این رو با اکتشافات اندرو گرانویل، پینتز و مایر سازگار نیست که نشان می دهد که $g_n>\frac{2-\epsilon }{e^{\gamma }}(\log p_n{)}^2\approx 1.1229(\log p_n{)}^2$ به طور بی نهایت اغلب برای هر $\epsilon >0$ رخ می دهد، جایی که $\gamma$ نشان دهنده ثابت اویلر–ماسکرونی است. دو حدس مرتبط دیگر ${\left(\frac{\log (p_{n+1})}{\log (p_n)}\right)}^n<e$ و ${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<n\log (n)\text{ for all }n>5$ هستند، که اولی که ضعیف تر و دومی قوی تر است.

(مراجعه شود به: الگو:OEIS2C)

مطالعه بیشتر

• قضیه اعداد اول
• حدس لژاندر
• حدس کرامر

منابع

• الگو:یادکرد ویکی

[1]: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, page, ۸۵