ثابت اویلر–ماسکرونی

مساحت ناحیهٔ آبی رنگ به ثابت اولر-ماسکرونی همگرا است.

ثابت اویلر-ماسکرونی (با نام ثابت اویلر نیز شناخته می‌شود) یک ثابت ریاضی است که در آنالیز و نظریه اعداد بررسی می‌شود، این ثابت معمولاً با حرف یونانی گامای کوچک(الگو:Mvar) نشان داده می‌شود.

این ثابت به صورت حد تفاضل بین سری هارمونیک و لگاریتم طبیعی تعریف می‌شود:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\ln n+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k})\\ [5px]& =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(-\frac{1}{x}+\frac{1}{\lfloor x\rfloor })dx.\end{array}$

در اینجا، $\lfloor x\rfloor$ تابع جزء صحیح را نشان می‌دهد.

مقدار عددی ثابت اویلر-ماسکرونی، تا ۵۰ رقم اعشار برابر است با:

الگو:Gaps الگو:Nowrap

دودویی	الگو:Gaps
اعشاری	الگو:Gaps
بر مبنای شانزده	الگو:Gaps
کسر مسلسل	الگو:Nowrapالگو:سخالگو:سخالگو:سخالگو:سخ(هنوز مشخص نیست که این کسر مسلسل متناهی یا نامتناهی دوره ای یا نامتناهی غیر دوره ای است.الگو:سخکسر مسلسل به روش علامتگذاری خطی نشان داده شده‌است)الگو:سخالگو:سخالگو:سخالگو:سخمنبع: الگو:Harvard citation no brackets

تاریخچه

لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی در مقاله ای با عنوان De Progressionibus harmonicis observationes (نمایهٔ Eneström 43) در سال ۱۷۳۴ اولین بار از این ثابت استفاده کرد. اویلر از علامت الگو:ریاضی و الگو:ریاضی برای این ثابت استفاده کرد. در سال ۱۷۹۰ ریاضیدان ایتالیایی، لورنزو ماسکرونی از نمادهای الگو:ریاضی و الگو:ریاضی برای آن استفاده کرد. علامت الگو:Mvar در هیچ‌یک از نوشته‌های اویلر و ماسکرونی دیده نمی‌شود و شاید بعداً به دلیل ارتباط آن با تابع گاما انتخاب شده باشد الگو:Harvard citation. مثلاً، ریاضیدان آلمانی کارل آنتون برسشنایدر از علامت الگو:Mvar در سال ۱۸۳۵ استفاده کردالگو:Harvard citation و آگوستوس دمورگان از این علامت در یک کتاب درسی استفاده کرده‌است. الگو:Harvard citation

ویژگی‌ها

تا به حال جبری یا متعالی بودن عدد الگو:Mvar مشخص نشده‌است. در واقع، حتی گنگ بودن یا نبودن الگو:Mvar نیز معلوم نیست. پاپانیکولائو در سال ۱۹۹۷ با استفاده از تجزیه و تحلیل کسر مسلسل، نشان داد که اگر الگو:Mvar گنگ باشد، مخرج کسر غیرقابل قسم آن باید بیشتر از عدد 10²⁴⁴⁶⁶³ باشد.

ارتباط با تابع گاما

الگو:Mvar به تابع دایگاما الگو:ریاضی، و مشتق تابع گاما الگو:ریاضی مربوط است، مقدار هر دو تابع در نقطهٔ یک برابر است پس:

$-\gamma ={\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)=\mathrm{\Psi }(1).$

که این برابر با حد زیر است:

$\begin{array}{cc}-\gamma & =\underset{z\to 0}{\lim }(\mathrm{\Gamma }(z)-\frac{1}{z})\\ & =\underset{z\to 0}{\lim }(\mathrm{\Psi }(z)+\frac{1}{z}).\end{array}$

نتایج حدی بیشتر الگو:Harvard citation:

$\begin{array}{cc}\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}(\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+z)}-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-z)})& =2\gamma \\ \underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}(\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1-z)}-\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1+z)})& =\frac{{\pi }^2}{3{\gamma }^2}.\end{array}$

حد مربوط به تابع بتا است (که بر حسب توابع گاما بیان شده‌است)

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)\mathrm{\Gamma }(n+1)n^{1+\frac{1}{n}}}{\mathrm{\Gamma }(2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^2}{n+1})\\ & =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to \mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{(-1{)}^k}{k}\ln (\mathrm{\Gamma }(k+1)).\end{array}$

کسر مسلسل

بسط کسر مسلسل الگو:Mvar به شکل روبه رو است الگو:Nowrap الگو:Nowrap الگو:Nowrap الگو:Nowrap OEIS: A002852، که الگوی آشکاری ندارد. ۴۷۵٬۰۰۶ مورد از اعداد الگوی بالا پیدا شده‌اند، و تعدادشان بی‌نهایت است اگر و تنها اگر الگو:Mvar گنگ باشد.

الگو:ریاضی

منابع

• الگو:Cite journal الگو:Mvar به عنوان مبالغی از توابع zeta ریمان استخراج می‌کند.
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite web
• Gourdon , Xavier و Sebah , P. (2004) " ثابت اولر: الگو:Mvar " .
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book الگو:Cite book الگو:Cite book
• الگو:Cite journal
• الگو:Citation
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal

پیوند به بیرون

• الگو:Springer
• الگو:Mathworld
• Jonathan Sondow. الگو:Webarchive
• Fast Algorithms and the FEE Method, E.A. Karatsuba (2005)
• Further formulae which make use of the constant: Gourdon and Sebah (2004).