جدول معادلات ترمودینامیکی

{{#invoke:Sidebar |collapsible | bodyclass = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.3em;border-bottom:1px solid #aaa; | title = ترمودینامیک | imagestyle = display:block;margin:0.3em 0 0.4em; | image = | caption = موتور گرمایی کلاسیک کارنو | listtitlestyle = background:#ddf;text-align:center; | expanded =

| list1name = branches | list1title = شاخه‌ها | list1 = الگو:فهرست یک‌دست

• ترمودینامیک
• مکانیک آماری
• ترمودینامیک شیمیایی
• ترمودینامیک کوانتومی

• ترمودینامیک تعادلیالگو:\ترمودینامیک غیرتعادلی

| list2name = laws | list2title = قوانین | list2 = الگو:فهرست یک‌دست

• قانون صفرم ترمودینامیک
• قانون اول ترمودینامیک
• قانون دوم ترمودینامیک
• قانون سوم ترمودینامیک

| list3name = systems | list3title = سامانه‌ها | list3 =

• سامانه بسته
• تک‌افتاده

الگو:Sidebar

| list4name = sysprop | list4title = خواص ترمودینامیکی

| list4 =

Note: متغیرهای مزدوج (ترمودینامیک) in italics

الگو:Sidebar

| list5name = material | list5title = خواص مواد | list5 =

• پایگاه داده‌های خواص

ظرفیت گرمایی	$c=$	$T$ $\partial S$ $N$ $\partial T$
ضریب تراکم‌پذیری همدما	$\beta =-$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial p$
ضریب انبساط گرمایی	$\alpha =$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial T$

| list6name = equations | list6title = معادلات | list6 = الگو:فهرست یک‌دست

• قضیه کارنو
• قضیه کلازیوس
• روابط بنیادین
• قانون گاز آرمانی

• روابط ماکسول (ترمودینامیک)
• روابط متقابل اونزاگر
• معادلات بریجمن
• جدول معادلات ترمودینامیکی

| list7name = potentials | list7title = پتانسیل‌ها | list7 = الگو:فهرست یک‌دست

• انرژی آزاد ترمودینامیکی
• آنتروپی آزاد

| list8name = تاریخچه/فرهنگ | list8title = الگو:Hlist | list8 =

الگو:Sidebar

| list9name = scientists | list9title = دانشمندان | list9 = الگو:فهرست یک‌دست

• دانیل برنولی
• لودویگ بولتسمان
• نیکلا سعدی کارنو
• بنوآ پل امیل کلاپیرون
• رودلف کلاوزیوس
• کنستانتین کاراتئودوری
• پی‌یر دوهم
• جوسایا ویلارد گیبس
• هرمان فون هلمهولتز
• جیمز جول
• جیمز کلرک ماکسول
• یولیوس روبرت فون مایر
• لارس اونزاگر
• ویلیام جان مک‌کورن رانکین
• جان اسمیتون
• گئورگ اشتال
• بنجامین تامسون
• ویلیام تامسون
• یوهان دیدریک وان در والس
• جان جیمز واترستون

الگو:پایان فهرست یک‌دست | list10name = Other | list10title = سایر | list10 =

• هسته‌زایی (شیمی)
• خودسامانی
• خودسازمان‌دهی
• ترتیب و درهم‌ریختگی

| below =

• الگو:آیکون رده:ترمودینامیک

}} در فهرست زیر معادلات متداول و پر کاربرد ترمودینامیک آورده شده‌است:

تعاریف

بسیاری از تعاریف زیر، در ترمودینامیک واکنش‌های شیمیایی نیز استفاده شده‌اند.

کمیت‌های پایه‌ای عمومی

کمیت (نام رایج)	نماد (رایج)	یکای SI	بعد
تعداد مولکول‌ها	N	بدون بعد	بدون بعد
تعداد مول‌ها	n	mol	[N]
دما	T	K	[Θ]
گرما	Q, q	J	$[M][L{]}^2[T{]}^{-2}$
گرمای نهان	$Q_L$	J	$[M][L{]}^2[T{]}^{-2}$

متغیرها

متغیرهای مزدوج

p	فشار
V	حجم (ترمودینامیک)
T	دما
S	انتروپی
μ	پتانسیل شیمیایی
N	تعداد ذره

پتانسیل ترمودینامیکی

U	انرژی درونی
A	انرژی آزاد هلمولتز
H	آنتالپی
G	انرژی آزاد گیبس

خواص مواد

ρ	چگالی
CV	ظرفیت گرمایی (حجم ثابت)
CP	ظرفیت گرمایی (فشار ثابت)
βT	Isothermal ضریب تراکم‌پذیری همدما
βS	Adiabatic ضریب تراکم‌پذیری همدما
α	ضریب انبساط گرمایی

ثابت‌ها

kB	ثابت بولتزمن
R	ثابت عمومی گازها

متغیرهای متداول

$W$	کار انجام شوده به وسیلهٔ سیستم بر روی محیط
$Q$	گرما انتقال یافته از محیط به سیستم
δw	Infinitesimal amount of Work
δq	Infinitesimal amount of Heat

معادله‌ها

آنتروپی

• $S=k_B(\ln \mathrm{\Omega })$، where $k_B$ is the ثابت بولتزمن، and $\mathrm{\Omega }$ denotes the volume of ریزحالت in the فضای فاز.
• $dS=\frac{\delta Q}{T}$، برای سیستم برگشت‌پذیر

خواص کوانتومی

• $U=N{k}_B{T}^2{\left(\frac{\partial \ln Z}{\partial T}\right)}_V$
• $S=\frac{U}{T}+N*S=\frac{U}{T}+N{k}_B\ln Z-Nk\ln N+Nk$ Indistinguishable Particles

where N is number of particles, Z is the partition function, h is ثابت پلانک، I is ممان اینرسی، Z_t is Z_translation, Z_v is Z_vibration, Z_r is Z_rotation

• $Z_t=\frac{(2\pi m{k}_{B}T{)}^{\frac{3}{2}}V}{h^3}$
• $Z_v=\frac{1}{1-e^{\frac{-h\omega }{2\pi k_{B}T}}}$
• $Z_r=\frac{2I{k}_{B}T}{\sigma (\frac{h}{2\pi }{)}^2}$

الگو:سخ where:

• $\sigma =1$، مولکول ناجورهسته
• $\sigma =2$، مولکول جورهسته

فرایند شبه‌تعادلی و فرایند برگشت‌پذیر

• $dQ=C_{p}dT+l_v{d}_v=dU+PdV=TdS$

ظرفیت گرمایی در فشار ثابت

• $C_p={\left(\frac{\partial Q_{rev}}{\partial T}\right)}_p={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_p+p{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p={\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_p=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_p$

ظرفیت گرمایی در حجم ثابت

• $C_V={\left(\frac{\partial Q_{rev}}{\partial T}\right)}_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V$

پتانسیل ترمودینامیکی و مفاهیم مرتبط

نام	نماد	فرمول	متغیرهای طبیعی
انرژی درونی	$U$	$\int (TdS-pdV+\sum _i{\mu }_{i}d{N}_i)$	$S,V,\{N_i\}$
انرژی آزاد هلمولتز	$F$	$U-TS$	$T,V,\{N_i\}$
آنتالپی	$H$	$U+pV$	$S,p,\{N_i\}$
انرژی آزاد گیبس	$G$	$U+pV-TS$	$T,p,\{N_i\}$
پتانسیل لاندو (پتانسیل بزرگ)	$\mathrm{\Omega }$, ${\mathrm{\Phi }}_G$	$U-TS-$$\sum _i$${\mu }_i{N}_i$	$T,V,\{{\mu }_i\}$

See also:

• روابط ماکسول
• روابط اساسی ترمودینامیک

ضریب تراکم‌پذیری همدما at constant temperature

• $K_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_{T,N}$

برخی روابط دیگر

• ${\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)}_{V,N}=\frac{1}{T}$
• ${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{N,U}=\frac{p}{T}$
• ${\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)}_{V,U}=-\frac{\mu }{T}$
• ${\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)}_V=\frac{T}{C_V}$
• ${\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)}_p=\frac{T}{C_p}$
• $-{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T=\frac{1}{V{K}_T}$

جدول معادلات برای گاز ایده‌آل

Quantity	General Equation	Isobaricالگو:سخΔp = ۰	Isochoricالگو:سخΔV = ۰	Isothermalالگو:سخΔT = ۰	Adiabaticالگو:سخ$Q=0$
کارالگو:سخ$W$	$\delta W=pdV$	$p\mathrm{\Delta }V$-	$0$	$nRT\ln \frac{V_2}{V_1}$	$\frac{P{V}^{\gamma }(V_f^{1-\gamma }-V_i^{1-\gamma })}{1-\gamma }$ = $C_V(T_1-T_2)$
ظرفیت گرماییالگو:سخC	(as for real gas)	$C_p=\frac{5}{2}nR$الگو:سخ(for monatomic ideal gas)	$C_V=\frac{3}{2}nR$الگو:سخ(for monatomic ideal gas)
انرژی درونیالگو:سخΔU	$\mathrm{\Delta }U=C_v\mathrm{\Delta }T$	$Q+W$الگو:سخالگو:سخ$Q_p-p\mathrm{\Delta }V$	$Q$الگو:سخالگو:سخ$C_V(T_2-T_1)$	$0$الگو:سخالگو:سخ$Q=W$	$-W$الگو:سخالگو:سخ$C_V(T_2-T_1)$
آنتالپیالگو:سخΔH	$H=U+pV$	$C_p(T_2-T_1)$	$Q_V+V\mathrm{\Delta }p$	$0$	$C_p(T_2-T_1)$
آنتروپیالگو:سخΔS	$\mathrm{\Delta }S=C_v\ln \frac{T_2}{T_1}+R\ln \frac{V_2}{V_1}$الگو:سخ$\mathrm{\Delta }S=C_p\ln \frac{T_2}{T_1}-R\ln \frac{p_2}{p_1}$	$C_p\ln \frac{T_2}{T_1}$	$C_V\ln \frac{T_2}{T_1}$	$nR\ln \frac{V_2}{V_1}$الگو:سخ$\frac{Q}{T}$	$C_p\ln \frac{V_2}{V_1}+C_V\ln \frac{p_2}{p_1}=0$
Constant	$$	$\frac{V}{T}$	$\frac{p}{T}$	$pV$	$p{V}^{\gamma }$

دیگر معادلات سودمند

• $\mathrm{\Delta }U=Q-W=Q-\int p_{ext}dV=Q-p_{ext}\mathrm{\Delta }V$
• $H=U+pV$
• $A=U-TS$
• $G=H-TS=\sum _i{\mu }_i{N}_i$
• $dU(S,V,n_i)=TdS-pdV+\sum _i{\mu }_{i}d{N}_i$
• $dH(S,p,n_i)=TdS+Vdp+\sum _i{\mu }_{i}d{N}_i$
• $dA(T,V,n_i)=-SdT-pdV+\sum _i{\mu }_{i}d{N}_i$
• $dG(T,p,n_i)=-SdT+Vdp+\sum _i{\mu }_{i}d{N}_i$
• ${\mu }_{JT}={\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H$
• ${\kappa }_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T$
• ${\alpha }_p=\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p$
• ${\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)}_T=V-T{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p$
• ${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$
• $H=-T^2{\left(\frac{\partial (G/T)}{\partial T}\right)}_p$
• $U=-T^2{\left(\frac{\partial (A/T)}{\partial T}\right)}_V$

برهان ۱

نمونه ای از کاربرد روش بالا:

${\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=-\frac{1}{C_p}{\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)}_T$

${\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H{\left(\frac{\partial p}{\partial H}\right)}_T{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_p=-1$

${\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=-{\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)}_T{\left(\frac{\partial T}{\partial H}\right)}_p$

$=\frac{-1}{{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_p}{\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)}_T$ ; $C_p={\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)}_p$

$\Rightarrow {\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)}_H=-\frac{1}{C_p}{\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)}_T$

برهان ۲

نمونه‌های دیگر:

$C_V=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V$

$U=Q-W{}^{‴}$

$dU=\delta Q_{rev}-\delta W_{rev};dS=\frac{\delta Q_{rev}}{T},\delta W_{rev}=pdV$

$=TdS-pdV$

${\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V-p{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_V;C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V$

$\Rightarrow C_V=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V$

جستارهای وابسته

• معادله آنتوان
• عدد بیجان
• Bowen ratio
• Bridgman's equations
• معادله کلازیوس-کلاپیرون
• Departure functions
• Duhem–Margules equation
• Ehrenfest equations
• Gibbs–Helmholtz equation
• قانون فازی گیبس
• Kopp's law
• Kopp–Neumann law
• Noro–Frenkel law of corresponding states
• Onsager reciprocal relations
• عدد استفان
• Triple product rule

منابع

• Atkins, Peter and de Paula, Julio Physical Chemistry, 7th edition, W.H. Freeman and Company, 2002 ISBN 0-7167-3539-3].
  • Chapters 1 - 10, Part 1: Equilibrium.
• Bridgman, P.W. , Phys. Rev., 3, 273 (1914).
• Landsberg, Peter T. Thermodynamics and Statistical Mechanics. New York: Dover Publications, Inc. , 1990. (reprinted from Oxford University Press, 1978).
• Lewis, G.N. , and Randall, M. , "Thermodynamics", 2nd Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1961.
• Reichl, L.E. , "A Modern Course in Statistical Physics", 2nd edition, New York: John Wiley & Sons, 1998.
• Schroeder, Daniel V. Thermal Physics. San Francisco: Addison Wesley Longman, 2000 ISBN 0-201-38027-7].
• Silbey, Robert J. , et al. Physical Chemistry. 4th ed. New Jersey: Wiley, 2004.
• Callen, Herbert B. (1985). "Thermodynamics and an Introduction to Themostatistics", 2nd Ed. , New York: John Wiley & Sons.