پیش‌نویس:گروه متقارن آفین

گروه‌ متقارن آفین شاخه‌ای از جبر در ریاضیات است که به مطالعه و توصیف تقارن‌های محور اعداد و کاشی کاری مثلثی منظم صفحه و اجسام با ابعاد بالاتر مرتبط می‌پردازد. علاوه بر این توصیف هندسی، گروه‌های متقارن وابسته به روش دیگری نیز تعریف می‌شوند. مثلا:به عنوان مجموعه‌ای از جایگشت‌های (باز چینی) اعداد صحیح که در زمان خاصی به‌صورت متناوب هستند یا به اصطلاح تخصصی تر، به عنوان گروه با مولد و روابط (تعیین گروه با مولد و روابط بین آنها) است که در ترکیبیات و نظریهٔ نمایش بررسی می‌شوند. یک گروه متقارن محدود، شامل همه جایگشت‌های یک مجموعه متناهی است. هر گروه متقارن وابسته، توسیع گروهی از یک گروه متقارن محدود است. بسیاری از ویژگی‌های ترکیبی مهم گروه‌های متقارن محدود می‌تواند به گروه‌های متقارن وابسته متناظر تعمیم داده شود. آمار جایشگت (تصادفی) مانند جایگشت و وراونگی را می‌توان در وابسته تعریف کرد. همان‌طور که در حالت محدود، تعاریف ترکیبی طبیعی برای این آمار نیز تفسیر هندسی دارند. گروه‌های متقارن وابسته روابط نزدیکی با سایر موضوعات ریاضی دارند، از جمله الگو(ترفند)های شعبده‌بازی و گروه‌های بازتابی پیچیده خاص است. بسیاری از ویژگی‌های ترکیبی و هندسی آنها به خانواده گسترده‌تر گروه‌های کاکسیتر تعمیم داده می‌شود.

تعریف ها

گروه متقارن آفین را می‌توان توسط مولدها و روابط به عنوان گروهی مجرد، یا به طور معادل برحسب عبارات ملموس هندسی و مدل‌های ترکیبیاتی تعریف نمود.الگو:Sfnp

تعریف جبری

یکی از راه های تعریف گروه‌ها،استفاده از مولدها و روابط است. در این نوع تعریف، مولدها زیرمجموعه ای از عناصر گروه هستند که در صورت ترکیب، همه عناصر دیگر را تولید می کنند.روابط تعریف،سیستمی از معادلات هستند که مشخص می‌کنند چه زمانی ترکیب مولدها برابر هستند.الگو:Efn الگو:Sfnpبه این ترتیب گروه متقارن وابسته ${\tilde{S}}_{n}$ _ام،توسط یک مجموعه درست می‌شود.

$s_{0}, s_{1}, \dots, s_{n - 1}$

از n_مین عنصر از رابطه زیر پیروی می‌کند: اگر $n \geq 3$ باشد

$s_{i}^{2} = 1$ (که مولدها پیچشی هستند.)
$s_{i} s_{j} = s_{j} s_{i}$ اگر j متعلق به $j + 1$ و $j - 1$ نباشد،نشان می‌دهد برای این جفت ژنراتور خاصیت جابه‌جایی وجود دارد.
$s_{i} s_{i + 1} s_{i} = s_{i + 1} s_{i} s_{i + 1}$

نکته مهم این است که در روابط فوق،اندازه‌ها هم‌نهشتn در نظر گرفته می‌شوند،در نتیجه رابطه شماره ۳ فقط در موارد خاص درست است $s_{0} s_{n - 1} s_{0} = s_{n - 1} s_{0} s_{n - 1}$ (به روابط دوم و سوم روابط براید هم گفته می‌شود.الگو:Sfnp) اگر $n = 2$ باشد،گروه متقارن آفین ${\tilde{S}}_{2}$ ، یک گروه دووجهی بی نهایت است که توسط دو عنصر $s_{0}, s_{1}$ تولید می‌شود و صرفا محدود به روابط $s_{0}^{2} = s_{1}^{2} = 1$ است.الگو:Sfnp

این روابط را می‌توانند به شکل ویژه‌ای بازنویسی کرد که گروه‌های کاکسیتر تعریف می‌کند،بنابراین گروه‌های متقارن آفین همان گروه کاکسیتر هستند که در آن $s_{i}$ ها،مجموعه مولد کاکسیتر آنهاست.الگو:Sfnpهر گروه کاکسیتر ممکن است با گراف کاکسیتر-دینکین نشان داده شود که رئوس آن متناظر با مولدها باشد و یال‌ها روابط میان آنها را رمزگذاری می‌کند.الگو:Sfnpاگر $n \geq 3$ باشد،آنگاه نمودار کاکسیتر-دینکین برای ${\tilde{S}}_{n}$ تبدیل به یک گراف $C_{n}$ می‌شود.(که در آن یال‌ها متناظر با روابط بین جفت مولدهای متوالی هستند و عدم وجود یک یال‌ بین جفت‌های مولدها،نشان می‌دهد که آنها قابل جابه‌جایی هستند.)

پانویس

الگو:پانویس

یادداشت‌ها

الگو:Notelist

منابع

الگو:چپ‌چین

پیش‌نویس:گروه متقارن آفین

فهرست

تعریف ها

تعریف جبری

پانویس

یادداشت‌ها

منابع

منوی ناوبری

پیش‌نویس:گروه متقارن آفین

تعریف ها

تعریف جبری

پانویس

یادداشت‌ها

منابع

منوی ناوبری

جستجو