نظریه مجانبی

نظریه مجانبی یا نظریه ناهَمساویک شاخه‌ای از ریاضیات است که به بسط مجانبی می‌پردازد.

نمونه‌ای از نتیجه ناهمساویک قضیه اعداد اول است: فرض کنیم π(x) تعداد اعداد اولی است که کوچکتر یا برابر با x باشند، آنگاه حد

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)\ln (x)}{x}$

وجود دارد و برابر است با 1.

نظریه مجانبی در شاخه‌های گوناگون علوم ریاضی استفاده می‌شود. در آمار، نظریه مجانبی تقریب‌های حدی توزیع احتمال از یک نمونه آماری را فراهم می‌کنند، مانند آزمون نسبت درست‌نمایی آماره و امید ریاضی deviance .

نمونه‌هایی از گسترش‌های مجانبی

• تابع گاما

$\frac{e^x}{x^x\sqrt{2\pi x}}\mathrm{\Gamma }(x+1)\sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots (x\to \mathrm{\infty })$

• انتگرال نمایی

$x{e}^x{E}_1(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^n}(x\to \mathrm{\infty })$

• تابع زتای ریمان

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}{n}^{-s}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2m}{s}^{\overline{2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}$

که $B_{2m}$ عدد برنولی است و $s^{\overline{2m-1}}$ یک rising factorial است. این گسترش برای همه صفحه‌های مختلط s معتبر است و اغلب برای محاسبه تابع زتا با استفاده از مقادیر بزرگ از N برای نمونه $N>|s|$ استفاده می‌شود.

• تابع خطا

$\sqrt{\pi }x{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(x)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!(2x{)}^{2n}}.$

منابع

• Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford University Press, 1949
• Paris, R. B. and Kaminsky, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
• Whittaker, E. T. and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963

پیوند به بیرون

• A paper on time series analysis using asymptotic distribution