قانون زنجیره‌ای (احتمال)

الگو:نظریه احتمالات در تئوری احتمال ، قانون زنجیره‌ای (به انگلیسی: Chain Rule) امکان محاسبه توزیع توأم مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی را تنها با استفاده از احتمالات شرطی می‌دهد. این قانون در مطالعه شبکه های بیزی مفید است که توزیع احتمال را بر حسب احتمالات شرطی توصیف می‌کند.

قانون زنجیره ای برای پیشامدها

دو پیشامد

قانون زنجیره ای برای دو پیشامد تصادفی $A$ و $B$ اینطور تعریف می‌شود:

$P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)$

مثال

این قانون در مثال زیر شرح داده شده است.

توپ‌های موجود در سطل‌ها

سطل 1 دارای 1 توپ سیاه و 2 توپ سفید و سطل 2 دارای 1 توپ سیاه و 3 توپ سفید می‌باشد. فرض کنید یک سطل را به طور تصادفی انتخاب کرده و سپس یک توپ از آن سطل بر می‌داریم. پیشامد $A$ را انتخاب سطل 1 در نظر بگیرید: $P(A)=P(\bar{A})=1/2$ . فرض کنید پیشامد $B$ نشان دهنده این باشد که یک توپ سفید برداریم. شانس برداشتن توپ سفید به شرط اینکه اولین سطل را انتخاب کرده باشیم برابر است با $P(B|A)=2/3$ . پیشامد $A\cap B$ اشتراک دو پیشامد خواهد بود: یعنی انتخاب اولین سطل و یک توپ سفید از آن. احتمال رویداد $A\cap B$ را می توان با قانون زنجیره‌ای احتمال پیدا کرد:

$\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(B\mid A)\mathrm{P}(A)=2/3\times 1/2=1/3$

بیش از دو پیشامد

برای رویداد‌های $A_1,\dots ,A_n$ قانون زنجیره به فرمول زیر گسترش می یابد

$\mathrm{P}(A_n\cap \dots \cap A_1)=\mathrm{P}(A_n|A_{n-1}\cap \dots \cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_{n-1}\cap \dots \cap A_1)$

که می‌توان با استفاده از استقرا آنرا به شکل زیر نوشت

$\mathrm{P}(A_n\cap \dots \cap A_1)=\prod _{k=1}^n\mathrm{P}\left(A_k\right|\bigcap _{j=1}^{k-1}{A}_j)$

مثال

برای چهار پیشامد ( $n=4$ ) قاعده زنجیره ای مطابق زیر است

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)& =\mathrm{P}(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_3\cap A_2\cap A_1)\\ & =\mathrm{P}(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_3\mid A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_2\cap A_1)\\ & =\mathrm{P}(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_3\mid A_2\cap A_1)\cdot \mathrm{P}(A_2\mid A_1)\cdot \mathrm{P}(A_1)\end{array}$

مثال

در کارخانه‌ای 200 لامپ تولید شده است که 10 تا از این لامپ ها معیوب هستند. 4 لامپ به تصادف از این 200 لامپ انتخاب می کنیم. چقدر احتمال دارد که همه لامپ ها سالم باشند؟ پیشامد ( $A_i$ ) برابر با این است که لامپ ( $i$ ) سالم باشد برای ( $i=1,2,3,4$ ) ما به دنبال محاسبه احتمال $P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)$ هستیم. توجه کنید:

الگو:وسط‌چین $P(A_1)=\frac{190}{200}$ الگو:پایان وسط‌چین اگر بدانیم اولین لامپ سالم بوده است، دومین لامپ از میان 189 لامپ سالم و 10 لامپ معیوب انتخاب می‌شود بنابراین

الگو:وسط‌چین $P(A_2\mid A_1)=\frac{189}{199}$ الگو:پایان وسط‌چین

اگر بدانیم اولین و دومین لامپ سالم بوده است، سومین لامپ باید از میان 188 لامپ سالم و 10 لامپ معیوب انتخاب شود بنابراین

الگو:وسط‌چین $P(A_3\mid A_2\cap A_1)=\frac{188}{198}$ الگو:پایان وسط‌چین

به همین ترتیب برای لامپ چهارم داریم:

الگو:وسط‌چین $P(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)=\frac{187}{197}$ الگو:پایان وسط‌چین

بنابراین برای محاسبه مقدار نهایی داریم:

الگو:وسط‌چین $P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)=P(A_4\mid A_3\cap A_2\cap A_1)P(A_3\mid A_2\cap A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_1)=\frac{190}{200}\frac{189}{199}\frac{188}{198}\frac{187}{197}$ الگو:پایان وسط‌چین

قانون زنجیره ای برای متغیرهای تصادفی

دو متغیر تصادفی

برای دو متغیر تصادفی $X,Y$ ، برای یافتن توزیع توأم، می توانیم با اعمال تعریف احتمال شرطی نتیجه زیر را بگیریم:

$\mathrm{P}(X,Y)=\mathrm{P}(X\mid Y)\cdot P(Y)$الگو:وسط‌چین

بیش از دو متغیر تصادفی

متغیرهای تصادفی $X_1,\dots ,X_n$ را در نظر بگیرید. برای یافتن توزیع توأم این متغیرها، می‌توانیم از تعریف احتمال شرطی استفاده کنیم تا به دست آوریم:

$\mathrm{P}(X_n,\dots ,X_1)=\mathrm{P}(X_n|X_{n-1},\dots ,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_{n-1},\dots ,X_1)$الگو:وسط‌چین

اگر این فرایند را برای عبارت آخر تکرار کنیم نتیجه زیر به دست می‌آید:

$\mathrm{P}\left(\bigcap _{k=1}^n{X}_k\right)=\prod _{k=1}^n\mathrm{P}\left(X_k\right|\bigcap _{j=1}^{k-1}{X}_j)$

مثال

برای چهار متغیر تصادفی ( $n=4$ )، قانون زنجیره‌ای به شکل زیر در می‌آید که حاصلضرب تعدادی احتمال شرطی است:

$\begin{array}{cc}\mathrm{P}(X_4,X_3,X_2,X_1)& =\mathrm{P}(X_4\mid X_3,X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_3,X_2,X_1)\\ & =\mathrm{P}(X_4\mid X_3,X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_3\mid X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_2,X_1)\\ & =\mathrm{P}(X_4\mid X_3,X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_3\mid X_2,X_1)\cdot \mathrm{P}(X_2\mid X_1)\cdot \mathrm{P}(X_1)\end{array}$

 

منابع

• الگو:Russell Norvig 20030-13-790395-2 ، پ. 496.
• "قاعده احتمالات زنجیره ای" ، developerWorks ، 3 نوامبر 2012.