فرمول هاورسین

فرمول هاورسین الگو:به انگلیسی فاصله دایره بزرگ بین دو نقطه روی یک کره را با توجه به طول و عرض جغرافیایی آن ها تعیین می‌کند. این فرمول در جهت‌یابی کاربر دارد که یک مورد خاص از یک فرمول کلی‌تر در مثلثات کروی، قانون هاورسین‌ها است که اضلاع و زوایای مثلث‌های کروی را به هم مرتبط می‌کند.

اولین جدول هاورسین‌ها به زبان انگلیسی توسط جیمز اندرو در سال ۱۸۰۵ منتشر شد، اما فلوریان کایوری استفاده قبلی را به خوزه د مندوزا و ریوس در سال ۱۸۰۱ نسبت می‌دهد. اصطلاح هاورسین در سال ۱۸۳۵ توسط جیمز اینمن ابداع شد.

فرمول

فرض می‌کنیم زاویه مرکزی الگو:ریاضی بین دو نقطه روی یک کره باشد:

$\theta =\frac{d}{r}$

جایی که

• d فاصله بین دو نقطه در امتداد یک دایره بزرگ از کره است.
• r شعاع کره است.

فرمول هاورسین به هاورسین الگو:ریاضی (یعنی الگو:ریاضی) اجازه می‌دهد که مستقیماً از عرض جغرافیایی (نمایش داده شده با الگو:ریاضی) و طول جغرافیایی (نمایش الگو:ریاضی) دو نقطه محاسبه شود:

$\mathrm{hav}\left(\theta \right)=\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+\cos \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)$

یا برای اجتناب از استفاده از کسینوس‌هایی که باعث کاهش وضوح در زوایای کوچک می‌شوند:

$\mathrm{hav}(\theta )=\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+(1-\mathrm{hav}({\phi }_1-{\phi }_2)-\mathrm{hav}({\phi }_1+{\phi }_2))\cdot \mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)$

جایی که

• الگو:ریاضی, الگو:ریاضی عرض جغرافیایی نقطه ۱ و ۲ است.
• الگو:ریاضی, الگو:ریاضی طول جغرافیایی نقطه ۱ و ۲ است.

در نهایت، تابع haversine الگو:ریاضی که در بالا برای زاویه مرکزی الگو:ریاضی و تفاوت در طول و عرض جغرافیایی اعمال می‌شود،

$\mathrm{hav}(\theta )={\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{2}$

تابع hasrsine نصف ورسینوس از زاویه الگو:ریاضی را محاسبه می‌کند.

برای حل فاصله الگو:ریاضی، آرک هاورسین (harsine معکوس) را به الگو:ریاضی یا از تابع آرکسین (سینوس معکوس) استفاده کنید:

$d=r\mathrm{archav}(h)=2r\arcsin \left(\sqrt{h}\right)$

یا به‌طور واضح تر:

$\begin{array}{cc}d& =2r\arcsin \left(\sqrt{\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+(1-\mathrm{hav}({\phi }_1-{\phi }_2)-\mathrm{hav}({\phi }_1+{\phi }_2))\cdot \mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)}\right)\\ & =2r\arcsin \left(\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}\right)+(1-{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2+{\phi }_1}{2}\right))\cdot {\sin }^2\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{2}\right)}\right)\\ & =2r\arcsin \left(\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}\right)+\cos {\phi }_1\cdot \cos {\phi }_2\cdot {\sin }^2\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{2}\right)}\right).\end{array}$

همان‌طور که در زیر توضیح داده شد، فرمول مشابهی را می‌توان با استفاده از کسینوس (که گاهی قانون کروی کسینوس نامیده می‌شود، که با قانون کسینوس‌ها برای هندسه صفحه اشتباه گرفته نمی‌شود) به جای هارسین نوشت، اما اگر این دو نقطه به هم نزدیک باشند (مثلاً یک کیلومتر روی زمین) ممکن است به الگو:ریاضی می‌شود، که منجر به پاسخ نادرست است. از آنجایی که فرمول هارسین از سینوس استفاده می‌کند، از این مشکل جلوگیری می‌کند.

هر کدام از این فرمول‌ها زمانی که روی زمین اعمال می‌شود، فقط یک تقریب است چون زمین یک کره کامل نیست: شعاع زمین الگو:ریاضی بین ۶۳۵۶٫۷۵۲ کیلومتر در قطب و ۶۳۷۸٫۱۳۷ کیلومتر در خط استوا متغیر است و مهمتر از آن، شعاع انحنای یک خط شمالی -جنوبی در سطح زمین در قطب (≈۶۳۹۹٫۵۹۴ کیلومتر) و در خط استوا (≈۶۳۳۵٫۴۳۹ کیلومتر) است که ۱٪ بیشتر است— بنابراین نمی‌توان فرمول هارسین و قانون کسینوس را بهتر از ۰٫۵٪ تضمین کرد. روش‌های دقیق‌تری که بیضی بودن زمین را در نظر می‌گیرند با فرمول‌های وینسنتی و فرمول‌های دیگر در مقالهٔ فاصله جغرافیایی ارائه شده‌است.

قانون هاورسین‌ها

مثلث کروی که با قانون هاورسین حل می‌شود

با توجه به یک کره واحد، یک «مثلث» روی سطح کره با دایره‌های بزرگی که سه نقطه الگو:ریاضی, الگو:ریاضی و الگو:ریاضی روی کره به هم وصل می‌کنند، تعریف می‌شود. اگر طول این سه ضلع الگو:ریاضی (از الگو:ریاضی تا الگو:ریاضی)، الگو:ریاضی (از الگو:ریاضی تا الگو:ریاضی) و الگو:ریاضی (از الگو:ریاضی به الگو:ریاضی) باشد و زاویه گوشه مقابل الگو:ریاضی ضلع الگو:ریاضی باشد، قانون هاورسین‌ها بیان می‌کند.

$\mathrm{hav}(c)=\mathrm{hav}(a-b)+\sin (a)\sin (b)\mathrm{hav}(C).$

از آنجایی که این یک کره واحد است، طول‌های الگو:ریاضی، الگو:ریاضی، و الگو:ریاضی به سادگی برابر با زوایایی هستند (بر حسب رادیان) که توسط آن اضلاع از مرکز کره متمایل می‌شوند (برای یک کره غیر واحد، هر یک از این طول کمان برابر است. به زاویه مرکزی آن ضرب در شعاع الگو:ریاضی کره).

برای به دست آوردن فرمول هاورسین بخش قبل از این قانون، به سادگی حالت خاصی را در نظر می‌گیریم که در آن الگو:ریاضی قطب شمال است، در حالی که الگو:ریاضی و الگو:ریاضی دو نقطه‌ای هستند که جدایی آنها با الگو:ریاضی تعیین می‌شود. در این صورت، الگو:ریاضی و الگو:ریاضی هستند الگو:ریاضی (یعنی هم عرض جغرافیایی)، الگو:ریاضی جدایی طول جغرافیایی الگو:ریاضی، و الگو:ریاضی فاصله مورد نظر است. الگو:ریاضی توجه به این الگو:ریاضی الگو:ریاضی، فرمول هاورسین بلافاصله دنبال می‌شود.

برای استخراج قانون هاورسین‌ها، با قانون کروی کسینوس‌ها شروع می‌شود:

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)\cos (C).$

همان‌طور که در بالا ذکر شد، این فرمول یک روش نامطلوب برای حل الگو:ریاضی زمانی است که الگو:ریاضی کوچک است. برای به دست آوردن قانون هارسین‌ها، در بالا فرض می‌کنیم که الگو:ریاضی است و الگو:ریاضی است.

اثبات

می‌توان فرمول را ثابت کرد:

$\mathrm{hav}\left(\theta \right)=\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+\cos \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)$

با تبدیل نقاط داده شده توسط طول و عرض جغرافیایی آنها به مختصات دکارتی و سپس گرفتن ضرب نقطه آنها.

دو نکته را در نظر بگیرید ${𝐩}_{\mathrm{𝟏}},{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}$ در کره واحد، داده شده توسط عرض جغرافیایی آنها $\phi$ و طول جغرافیایی $\lambda$ :

$\begin{array}{cc}{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}& =({\lambda }_2,{\phi }_2)\\ {𝐩}_{\mathrm{𝟏}}& =({\lambda }_1,{\phi }_1)\end{array}$

این نمایش‌ها بسیار شبیه مختصات کروی هستند، با این حال عرض جغرافیایی به عنوان زاویه از استوا اندازه‌گیری می‌شود و نه قطب شمال. این نقاط در مختصات دکارتی نمایش زیر را دارند:

$\begin{array}{cc}{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}& =(\cos ({\lambda }_2)\cos ({\phi }_2),\sin ({\lambda }_2)\cos ({\phi }_2),\sin ({\phi }_2))\\ {𝐩}_{\mathrm{𝟏}}& =(\cos ({\lambda }_1)\cos ({\phi }_1),\sin ({\lambda }_1)\cos ({\phi }_1),\sin ({\phi }_1))\end{array}$

از اینجا می‌توانیم مستقیماً تلاش کنیم تا حاصل ضرب نقطه‌ای را محاسبه کنیم و ادامه دهیم، اما با توجه به واقعیت زیر، فرمول‌ها به‌طور قابل توجهی ساده‌تر می‌شوند: اگر کره را در امتداد محور z بچرخانیم، فاصله بین دو نقطه تغییر نخواهد کرد. این در واقع یک ثابت به ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ اضافه می‌کند. توجه داشته باشید که ملاحظات مشابه در مورد تبدیل عرض‌های جغرافیایی اعمال نمی‌شود - افزودن یک ثابت به عرض‌های جغرافیایی ممکن است فاصله بین نقاط را تغییر دهد. با انتخاب $-{\lambda }_1$ به عنوان ثابت، و در نظر گرفتن ${\lambda }^{\prime }={\lambda }_2-{\lambda }_1$ ، نقاط جدید می‌شوند:

$\begin{array}{cc}{{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}}^{\prime }& =(\cos ({\lambda }^{\prime })\cos ({\phi }_2),\sin ({\lambda }^{\prime })\cos ({\phi }_2),\sin ({\phi }_2))\\ {{𝐩}_{\mathrm{𝟏}}}^{\prime }& =(\cos (0)\cos ({\phi }_1),\sin (0)\cos ({\phi }_1),\sin ({\phi }_1))\\ & =(\cos ({\phi }_1),0,\sin ({\phi }_1))\end{array}$

در صورتی که $\theta$ زاویه بین ${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}$ و ${𝐩}_{\mathrm{𝟐}}$ را نشان دهد، اکنون داریم که:

$\begin{array}{cc}\cos (\theta )& =⟨{𝐩}_{\mathrm{𝟏}},{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}⟩=⟨{{𝐩}_{\mathrm{𝟏}}}^{\prime },{{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}}^{\prime }⟩=\cos ({\lambda }^{\prime })\cos ({\phi }_1)\cos ({\phi }_2)+\sin ({\phi }_1)\sin ({\phi }_2)\\ & =\sin ({\phi }_2)\sin ({\phi }_1)+\cos ({\phi }_2)\cos ({\phi }_1)-\cos ({\phi }_2)\cos ({\phi }_1)+\cos ({\lambda }^{\prime })\cos ({\phi }_2)\cos ({\phi }_1)\\ & =\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)+\cos ({\phi }_2)\cos ({\phi }_1)(-1+\cos ({\lambda }^{\prime }))\Rightarrow \\ \mathrm{hav}\left(\theta \right)& =\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+\cos ({\phi }_2)\cos ({\phi }_1)\mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)\end{array}$

جستارهای وابسته

• کاهش بینایی

مطالعهٔ بیشتر

• سوالات متداول سیستم‌های اطلاعات جغرافیایی اداره سرشماری ایالات متحده، (مطالب به این قسمت منتقل شده است بهترین روش برای محاسبه فاصله بین ۲ نقطه چیست؟)
• RW Sinnott، «فضیلت هاورسین»، آسمان و تلسکوپ ۶۸ (۲)، ۱۵9 (1984).
• استخراج فرمول هارسین، از دکتر ریاضی بپرسید (20 – ۲۱ آوریل ۱۹۹۹). (لینک خراب)
• Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, مثلثات کروی، صفحه وب مثلثات هندسه ابتدایی (۱۹۹۷).
• W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed. , ch. 12 (ون نوستراند راینهولد: نیویورک، ۱۹۸۹).

پیوند به بیرون

• پیاده‌سازی فرمول هارسینه به ۹۱ زبان در rosettacode.org و به ۱۷ زبان در codecodex.com
• سایر پیاده‌سازی‌ها در C++ ، C (MacOS) , پاسکال ، پایتون ، روبی ، جاوا اسکریپت ، PHP , Matlab , MySQL