توابع معکوس مثلثاتی

الگو:مثلثات توابع معکوس مثلثاتی در ریاضیات، معکوس تابع‌های مثلثاتی‌اند که طبق تعریف تابع وارون، بُرد آن‌ها زیرمجموعهٔ دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابع‌های مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای اینکه وارون آن‌ها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آن‌ها را محدود کرد (نگاه کنید به آزمون خط افقی).

برای نمونه اگر تعریف کنیم $y=\arcsin (x)$ یا به شکل دیگر $y=si{n}^{-1}x$ آنگاه $x=\sin (y)$ است اما به ازای یک x یکتا می‌توان چندین y پیدا کرد که به ازای آن $x=\sin (y)$ شود، مانند y مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آن‌ها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin یا $si{n}^{-1}x$ می‌تواند چندین جواب داشته باشد $\arcsin (0)=0,\pi ,2\pi$ درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.

نمایش توابع معکوس مثلثاتی به فرم مشابه $si{n}^{-1}x$(سینوس‌اینورس) برای اولین بار توسط جان هرشل در سال ۱۸۱۳ به کار برده شد. این فرم را نباید با مقدار $\frac{\mathrm{1}}{\sin x}$ اشتباه گرفت؛ چرا که اولی به معنای تابع وارون (گرفته شده از نماد $y=f^{-1}(x)$) و دومی به معنای عکس مقدار سینوس است.

همچنین Arc به معنای "قوس" یا کمانی است که مقدار نسبت مثلثاتی آن معلوم است.

تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:

نام	نماد ریاضی	تعریف	دامنۀ تابع (بازهٔ x برای خروجی‌های حقیقی)	برد تابعالگو:سخ(رادیان)	برد تابعالگو:سخ(درجه)
آرک‌سینوس یا سینوس‌اینورس	$y=\arcsin (x)$یا $y=si{n}^{-1}(x)$	$x=sin(y)$	$-1\le x\le 1$	$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }\le y\le 90^{\circ }$
آرک‌کسینوس یا کسینوس‌اینورس	$y=\arccos (x)$یا $y=co{s}^{-1}(x)$	$x=cos(y)$	$-1\le x\le 1$	$0\le y\le \pi$	$0^{\circ }\le y\le 180^{\circ }$
آرک‌تانژانت یا تانژانت‌اینورس	$y=\arctan (x)$یا $y=ta{n}^{-1}(x)$	$x=tan(y)$	تمامی اعداد حقیقی	$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }\le y\le 90^{\circ }$
آرک‌کتانژانت یا کتانژانت‌اینورس	$y=\mathrm{arccot}(x)$یا $y=co{t}^{-1}x$	$x=cot(y)$	تمامی اعداد حقیقی	$0\le y\le \pi$	$0^{\circ }\le y\le 180^{\circ }$
آرک‌سکانت یا سکانت‌اینورس	$y=\mathrm{arcsec}(x)$یا $y=se{c}^{-1}x$	$x=sec(y)$	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$0\le y\le \pi ,y\ne \frac{\pi }{2}$	$0^{\circ }\le y\le 180^{\circ }$و $y\ne 90^{\circ }$
آرک‌کسکانت یا کسکانت‌اینورس	$y=\mathrm{arccsc}(x)$یا $y=cs{c}^{-1}x$	$x=csc(y)$	x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x	$\frac{-\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2},y\ne 0$	$-90^{\circ }\le y\le 90^{\circ }$و $y\ne 0^{\circ }$

برخی تعاریف:

آرک‌سینوس (سینوس‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که سینوس آن برابر آن عدد مفروض است

آرک‌کسینوس (کسینوس‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که کسینوس آن برابر آن عدد مفروض است

آرک‌تانژانت (تانژانت‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که تانژانت آن برابر آن عدد مفروض است

آرک‌کتانژانت (کتانژانت‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که کتانژانت آن برابر آن عدد مفروض است.

رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی

نمودار تابع های$\arcsin (x)$ (قرمز) و $\arccos (x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های$\arctan (x)$ (قرمز) و $\mathrm{arccot}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

نمودار تابع های$\mathrm{arcsec}(x)$ (قرمز) و $\mathrm{arccsc}(x)$ (آبی) در صفحهٔ مختصات دکارتی.

زاویه‌های مکمل: الگو:چپ‌چین

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$

$\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}-\arctan x$

$\mathrm{arccsc}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcsec}x$

الگو:پایان چپ‌چین ورودی‌های با علامت مخالف: الگو:چپ‌چین

$\arcsin (-x)=-\arcsin x$

$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$

$\arctan (-x)=-\arctan x$

$\mathrm{arccot}(-x)=\pi -\mathrm{arccot}x$

$\mathrm{arcsec}(-x)=\pi -\mathrm{arcsec}x$

$\mathrm{arccsc}(-x)=-\mathrm{arccsc}x$

الگو:پایان چپ‌چین ورودی‌های وارون شده: الگو:چپ‌چین

$\arccos (1/x)=\mathrm{arcsec}x$

$\arcsin (1/x)=\mathrm{arccsc}x$

$\arctan (1/x)=\frac{1}{2}\pi -\arctan x=\mathrm{arccot}x,\text{ if }x>0$

$\arctan (1/x)=-\frac{1}{2}\pi -\arctan x=-\pi +\mathrm{arccot}x,\text{ if }x<0$

$\mathrm{arccot}(1/x)=\frac{1}{2}\pi -\mathrm{arccot}x=\arctan x,\text{ if }x>0$

$\mathrm{arccot}(1/x)=\frac{3}{2}\pi -\mathrm{arccot}x=\pi +\arctan x,\text{ if }x<0$

$\mathrm{arcsec}(1/x)=\arccos x$

$\mathrm{arccsc}(1/x)=\arcsin x$

الگو:پایان چپ‌چین در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم: الگو:چپ‌چین

$\arccos x=\arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0\le x\le 1$

$\arctan x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

الگو:پایان چپ‌چین هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).

با استفاده از رابطهٔ نیم-زاویه $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$ خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$\arcsin x=2\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$

$\arccos x=2\arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1<x\le +1$

$\arctan x=2\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی

$\sin (\arccos x)=\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$

$\sin (\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos (\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\tan (\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$\tan (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

راه حل کلی

تابع‌های مثلثاتی در مجموعهٔ اعداد حقیقی، همگی تابع‌های متناوب اند و در بازه‌هایی به اندازهٔ ۲π مقدار همهٔ آن‌ها مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب تابع‌های سینوس و کسکانت از ۲πk − π/۲ (به ازای kهای عضو مجموعهٔ اعداد صحیح) شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود، در نتیجه مقدار تابع میان بازهٔ ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب کسینوس و سکانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود و مقدار تابع در فاصلهٔ میان ۲πk + π تا ۲πk + ۲π دوباره بر روی خودش باز می‌گردد. دورهٔ تناوب تانژانت از ۲πk − π/۲ شروع می‌شود و در ۲πk + π/۲ تمام می‌شود و مقدار تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π/۲ تا ۲πk + ۳π/۲ مرتب تکرار می‌شود. دورهٔ تناوب کتانژانت از ۲πk شروع می‌شود و در ۲πk + π تمام می‌شود، و تابع به ازای بازه‌های ۲πk + π تا ۲πk + ۲π بر روی خودش باز می‌گردد.

این تناوب در تابع‌های وارون نیز به همین ترتیب ادامه دارد، با فرض اینکه k عدد صحیحی است داریم: الگو:چپ‌چین

$\sin (y)=x\iff y=\arcsin (x)+2k\pi \text{ or }y=\pi -\arcsin (x)+2k\pi$

$\cos (y)=x\iff y=\arccos (x)+2k\pi \text{ or }y=2\pi -\arccos (x)+2k\pi$

$\tan (y)=x\iff y=\arctan (x)+k\pi$

$\cot (y)=x\iff y=\mathrm{arccot}(x)+k\pi$

$\sec (y)=x\iff y=\mathrm{arcsec}(x)+2k\pi \text{ or }y=2\pi -\mathrm{arcsec}(x)+2k\pi$

$\csc (y)=x\iff y=\mathrm{arccsc}(x)+2k\pi \text{ or }y=\pi -\mathrm{arccsc}(x)+2k\pi$

مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی

الگو:نوشتار اصلی مشتق ساده این نوع تابع‌ها، به ازای xهای مختلط و حقیقی به قرار زیر است: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\arcsin x& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arccos x& =\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arctan x& =\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x& =\frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین رابطه‌های زیر ویژهٔ xهای حقیقی است: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین برای مشتق ساده اگر $\theta =\arcsin x$ باشد، آنگاه داریم: الگو:چپ‌چین

$\frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sin \theta }=\frac{1}{\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

استفاده از انتگرال‌های معین

عبارت انتگرالی برابر با تابع‌های وارون مثلثاتی به قرار زیر است:

الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\arcsin x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz,|x|\le 1\\ \arccos x& =\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz,|x|\le 1\\ \arctan x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z^2+1}dz,\\ \mathrm{arccot}x& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z^2+1}dz,\\ \mathrm{arcsec}x& =\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,x\ge 1\\ \mathrm{arcsec}x& =\pi +\underset{x}{\overset{-1}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,x\le -1\\ \mathrm{arccsc}x& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,x\ge 1\\ \mathrm{arccsc}x& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,x\le -1\end{array}$

سری‌های نامتناهی

مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک سری‌های نامتناهی محاسبه کرد: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\arcsin z& =z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)};|z|\le 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\arccos z& =\frac{\pi }{2}-\arcsin z\\ & =\frac{\pi }{2}-(z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)};|z|\le 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\arctan z& =z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1z\ne i,-i\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arccot}z& =\frac{\pi }{2}-\arctan z\\ & =\frac{\pi }{2}-(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1z\ne i,-i\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsec}z& =\arccos (1/z)\\ & =\frac{\pi }{2}-(z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{(2n+1)};\left|z\right|\ge 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arccsc}z& =\arcsin (1/z)\\ & =z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{2n+1};\left|z\right|\ge 1\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از: الگو:چپ‌چین

$\arctan z=\frac{z}{1+z^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{k=1}^n\frac{2k{z}^2}{(2k+1)(1+z^2)}.$

الگو:پایان چپ‌چین هشدار: به ازای n= ۰ عبارت به یک ضرب تهی تبدیل می‌شود که خود برابر با ۱ است. همچنین در ادامه می‌توان نشان داد که: الگو:چپ‌چین

$\arctan z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(n!{)}^2}{(2n+1)!}\frac{z^{2n+1}}{{(1+z^2)}^{n+1}}$

انتگرال نامعین تابع‌های وارون مثلثاتی

برای تمامی xهای حقیقی و مختلط، رابطه‌های زیر برقرار است: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\int \arcsin xdx& =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\\ \int \arccos xdx& =x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\\ \int \arctan xdx& =x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\\ \int \mathrm{arccot}xdx& =x\mathrm{arccot}x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\\ \int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln \left(x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}})\right)+C\\ \int \mathrm{arccsc}xdx& =x\mathrm{arccsc}x+\ln \left(x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}})\right)+C\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین تنها برای x ≥ ۱ که عضو مجموعه اعداد حقیقی اند: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\\ \int \mathrm{arccsc}xdx& =x\mathrm{arccsc}x+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین تمامی رابطه‌های بالا به کمک انتگرال‌گیری جزء به جزء قابل دستیابی است.

نمونه

با استفاده از $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ داریم: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cccc}u& =& \arcsin x& \mathrm{d}v=\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}u& =& \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}& v=x\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین آنگاه: الگو:چپ‌چین

$\int \arcsin (x)\mathrm{d}x=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$

الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از تغییر متغیر: الگو:چپ‌چین

$k=1-x^2.$

الگو:پایان چپ‌چین پس: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{d}k=-2x\mathrm{d}x$

الگو:پایان چپ‌چین و الگو:چپ‌چین

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}}=-\sqrt{k}$

الگو:پایان چپ‌چین دوباره x را جایگزین می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

$\int \arcsin (x)\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

جستارهای وابسته

• سینوس (ریاضیات)
• فهرست اتحادهای مثلثاتی
• ریشه دوم
• تابع وارون هذلولی
• تابع وارون

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی