عملگر نردبانی

الگو:Sidebar with collapsible lists در جبر خطی و مکانیک کوانتومی، عملگر بالابرنده الگو:به انگلیسی یا عملگر پایین‌آورنده الگو:به انگلیسی که در مجموع عملگر نردبانی (الگو:Lang-en) خوانده می‌شوند عملگرهایی هستند که ویژه‌مقدار یک عملگر دیگر را افزایش یا کاهش می‌دهند. گاهی در فیزیک این عملگرها عملگر خلق و عملگر فنا نیز خوانده می‌شوند. از مشهورترین کاربردهای این عملگرها در مکانیک کوانتومی می‌توان به تحلیل نوسانگر هماهنگ کوانتومی و تکانه زاویه‌ای اشاره کرد.

اولین بار دیراک این عملگرها را ابداع و از این روش برای تحلیل تکانه‌ی زاویه‌ای و نشان دادن اینکه عدد کوانتومی تکانه‌ی زاویه‌ای کل باید مضربی از $\hslash /2$ باشد استفاده کرد.

شرح ریاضی

دو عملگر X و N را با فرض $[N,X]=cX,$ که در آن c یک اسکالر است در نظر می‌گیریم.اگر $|n⟩$ یک ویژه‌حالت N با معادله ویژه‌مقداری $N|n⟩=n|n⟩,$ باشد، در آن صورت عملگر X به گونه‌ای بر روی $|n⟩$ عمل می‌کند که ویژه‌مقدار را به مقدار c جابه‌جا کند:

$\begin{array}{cc}NX|n⟩& =(XN+[N,X])|n⟩\\ & =XN|n⟩+[N,X]|n⟩\\ & =Xn|n⟩+cX|n⟩\\ & =(n+c)X|n⟩.\end{array}$

به عبارت دیگر، اگر $|n⟩$ یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار n باشد در آن صورت $X|n⟩$ یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار n + c است. در اینجا اگر c حقیقی و مثبت باشد X یک عملگر بالابرنده یا عملگر خلق برای N است و اگر c حقیقی و منفی باشد X یک عملگر پایین‌آورنده یا عملگر فنا برای N است.

اگر N یک عملگر هرمیتی باشد، در آن صورت c باید حقیقی باشد و الحاقی هرمیتی (Hermitian adjoint) آن در رابطه‌ی :$[N,X^{†}]=-c{X}^{†}.$ صدق می‌کند. به‌خصوص، اگر X یک عملگر پایین‌آورنده برای N باشد، X^† یک عملگر بالابرنده برای N است و بالعکس.

برخی کاربردها

نوسانگر هماهنگ

یکی از کاربردهای عملگرهای خلق و فنا، تحلیل نوسانگر هماهنگ است. برای این کار، عملگرهای خلق و فنا به صورت زیر تعریف می‌شوند:

$\begin{array}{cc}a& =\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p})\\ a^{†}& =\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(\hat{x}-\frac{i}{m\omega }\hat{p})\end{array}$

در این صورت، نمایش عملگرهای مکان و تکانه به صورت زیر درمی‌آید:

$\begin{array}{cc}\hat{x}& =\sqrt{\frac{\hslash }{2}\frac{1}{m\omega }}(a^{†}+a)\\ \hat{p}& =i\sqrt{\frac{\hslash }{2}m\omega }(a^{†}-a).\end{array}$

(عملگر الگو:Mvar هرمیتی نیست، زیرا الحاقی آن الگو:Math با خودش برابر نیست.) در این صورت، با اعمال این عملگرها روی ویژه‌حالت‌های انرژی الگو:Math، ویژه‌مقدارهای انرژی به صورت زیر تغییر می‌کنند:

$\begin{array}{cc}{a}^{†}|n⟩& =\sqrt{n+1}|n+1⟩\\ a|n⟩& =\sqrt{n}|n-1⟩.\end{array}$

بنابراین الگو:Math یک کوانتوم انرژی به انرژی حالت اضافه و الگو:Math به همان میزان انرژی آن را کاهش می‌دهد. به همین دلیل به این عملگرها، عملگر خلق و فنا نیز گفته می‌شود.

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی