عدد موتزکین

عدد موتزکین الگو:Mvar ام، در ریاضیات عبارت است از تعداد روش‌های مختلف رسم وترهای غیر متقاطع بین الگو:Mvar نقطه روی یک دایره به صورتی که هر نقطه الزاماً با یک وتر تماس ندارد). اعداد موتزکین به نام تئودور موتزکین نامگذاری شده‌اند و کاربردهای متنوعی در هندسه، ترکیبات و نظریه اعداد دارند.

اعداد موتزکین $M_n$ برای $n=0,1,\dots$ دنباله زیر را تشکیل می‌دهد:

۱، ۱، ۲، ۴، ۹، ۲۱، ۵۱، ۱۲۷، ۳۲۳، ۸۳۵، … الگو:OEIS

مثال‌ها

شکل زیر ۹ روش برای رسم وترهای غیر متقاطع بین ۴ نقطه روی یک دایره را نشان می‌دهد (الگو:ریاضی):

شکل زیر ۲۱ روش برای رسم وترهای غیر متقاطع بین ۵ نقطه روی یک دایره را نشان می‌دهد (الگو:ریاضی):

خواص

اعداد موتزکین روابط بازگشتی را برآورده می‌کند:

$M_n=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}{M}_i{M}_{n-2-i}=\frac{2n+1}{n+2}{M}_{n-1}+\frac{3n-3}{n+2}{M}_{n-2}.$

اعداد موتزکین را می‌توان بر حسب ضرایب دوجمله ای و اعداد کاتالان نیز بیان کرد:

$M_n=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k})C_k,$

و برعکس،

$C_{n+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})M_k$

که نتیجه آن به صورت زیر خواهد بود:

$\sum _{k=0}^n{C}_k=1+\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})M_{k-1}.$

تابع مولد $m(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n{x}^n$ از اعداد موتزکین نتیجه زیر را برآورد می‌کند:

$x^{2}m(x{)}^2+(x-1)m(x)+1=0$

و به صورت زیر بیان می‌شود:

$m(x)=\frac{1-x-\sqrt{1-2x-3x^2}}{2x^2}.$

یک نمایش انتگرالی از اعداد موتزکین به صورت زیر است:

$M_n=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (x{)}^2(2\cos (x)+1{)}^{n}dx$ .

آنها رفتار مجانبی نیز دارند:

$M_n\sim \frac{1}{2\sqrt{\pi }}{\left(\frac{3}{n}\right)}^{3/2}{3}^n,n\to \mathrm{\infty }$ .

عدد اول موتزکین یک عدد موتزکین است که جزء اول است. از سال ۲۰۱۹، فقط چهار عدد اول از این قبیل شناخته شده‌است:

2, 127, 15511, 953467954114363 الگو:OEIS

تفاسیر ترکیبی

عدد موتزکین برای الگو:Mvar نیز تعداد دنباله‌های اعداد صحیح مثبت به طول الگو:ریاضی است که در آن عناصر آغازین و انتهایی ۱ یا ۲ هستند و تفاوت بین هر دو عنصر متوالی −1، ۰ یا ۱ است.

به‌طور مشابه، عدد موتزکین برای الگو:Mvar هم تعداد دنباله‌های اعداد صحیح مثبت به طول الگو:ریاضی است که در آن عناصر آغازین و انتهایی ۱ هستند و تفاوت بین هر دو عنصر متوالی −1، ۰ یا ۱ است.

همچنین، عدد موتزکین برای الگو:Mvar بیانگر تعداد مسیرها در ربع سمت راست بالای یک شبکه از مختصات (۰، ۰) تا مختصات (الگو:Mvar، ۰) در الگو:Mvar مرحله است به صورتی که فقط مجاز باشد به سمت راست حرکت کرد (بالا، پایین یا مستقیم) ولی در هر مرحله فرو افتادن به زیر محور الگو:Mvar = ۰ ممنوع است.

به عنوان مثال، شکل زیر ۹ مسیر معتبر موتزکین را از (۰، ۰) تا (۴، ۰) نشان می‌دهد:

حداقل چهارده نمود مختلف از اعداد موتزکین در شاخه‌های مختلف ریاضیات وجود دارد، به شکلی که الگو:Harvard citation text در بررسی اعداد موتزکین برشمرده اند. الگو:Harvard citation text نشان دادند که چرخه‌های وکسیلاری با اعداد موتزکین شمارش می‌شوند.

منابع

• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation
• الگو:Citation

پیوند به بیرون

• الگو:MathWorld