حلقه نیم-اول

در نظریه حلقه‌ها، ایده‌آل‌های نیم-اول الگو:به انگلیسی و حلقه‌های نیم-اول الگو:به انگلیسی تعمیم ایده‌آل‌های اول اند. در جبر جابجایی، به ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل‌های رادیکال هم می‌گویند.

به عنوان مثال، در حلقه اعداد صحیح، ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل صفر و تمام ایده‌آل‌هایی به شکل $n ℤ$ اند که در آن $n$ یک عدد صحیح مربع-آزاد است. بنابر این، $30 ℤ$ یک ایده‌آل نیم-اول از اعداد صحیح است (چون $30 = 2 \times 3 \times 5$ و در تجزیه آن هیچ عامل اول تکراری مشاهده نمی‌شود)، اما $12 ℤ$ نیم-اول نیست (چون $12 = 2^{2} \times 3$ ، و تجزیه آن دارای عامل اول تکراری است).

دسته حلقه‌های نیم-اول شامل حلقه‌های نیم-ابتدایی، حلقه‌های اول و حلقه‌های تحویل یافته‌است.

بسیاری از تعاریف و گزاره‌های این مقاله در الگو:Harv و الگو:Harv ظاهر شده‌اند.

تعاریف

برای یک حلقه جابجایی چون $R$ ، ایده‌آل محضی چون $A$ را یک ایده‌آل نیم-اول گویند اگر $A$ در هرکدام از دو تعریف معادل زیر صدق کند:

اگر از $x$ در $R$ و برای عدد صحیح مثبتی چون $k$ از $x^{k}$ در $A$ نتیجه شود که $x$ هم در $A$ باشد.
اگر $y$ در $R$ باشد اما در $A$ نباشد، آنگاه تمام توان‌های صحیح مثبت $y$ هم در $A$ نباشند.

شرط دوم می گوید که متمم یک ایده‌آل نیم-اول "تحت توان گیری بسته است". این شرط مشابه خاصیت ایده‌آل های اول است که متممشان تحت ضرب بسته است.

همچون ایده‌آل های اول، خاصیت اخیر برای ایده‌آل های نیم-اول با کمک ایده‌آل ها به حلقه های ناجابجایی تعمیم پیدا می کند. شرایط زیر برای ایده‌آل نیم-اول $A$ در یک حلقه $R$ با هم معادلند:

برای هر ایده‌آل $J$ از $R$ ، اگر برای هر عدد طبیعی $k$ داشته باشیم $J^{k} \subseteq A$ آنگاه $J \subseteq A$ .
برای هر ایده‌آل راست چون $J$ از $R$ ، اگر برای هر عدد طبیعی $k$ داشته باشیم $J^{k} \subseteq A$ آنگاه $J \subseteq A$ .
برای هر ایده‌آل چپ چون $J$ از $R$ ، اگر برای هر عدد طبیعی $k$ داشته باشیم $J^{k} \subseteq A$ آنگاه $J \subseteq A$ .
برای هر $x$ در $R$ ، اگر $x R x \subseteq A$ ، آنگاه $x$ در $A$ خواهد بود.

در اینجا دوباره، حالتی مشابه با حالت ناجابجایی برای m-دستگاه ایده‌آل های اول داریم. یک زیرمجموعه ناتهی $S$ از یک حلقه $R$ را n-دستگاه الگو:به انگلیسی گویند اگر برای هر $s$ در $S$ ، وجود داشته باشد یک $r$ در $R$ چنان که $s r s$ در $S$ باشد. با این نمادگذاری ها، تعریف معادل دیگری را می توان به تعاریف فوق اضافه کرد:

$R ∖ A$ یک n-دستگاه است.

حلقه $R$ را حلقه نیم-اول گوییم اگر ایده‌آل صفر آن یک ایده‌آل نیم-اول باشد. در حالت جابجایی، این معادل است با این که $R$ یک حلقه تحویل یافته باشد، چون $R$ هیچ عضو پوچتوان ناصفری ندارد. در حالت ناجابجایی، این حلقه هیچ ایده‌آل راست پوچتوان ناصفری ندارد.بنابر این، در حالی که یک حلقه کاهش یافته همیشه نیم-اول است، عکس آن صحیح نیست.^[۱]