رادیکال ایده‌آل

در نظریه حلقه های جابجایی، رادیکال یک ایده‌آل چون $I$، ایده‌آلی است به طوری که $x$ در این رادیکال است اگر و تنها اگر توانی از $x$ در $I$ باشد. ایده‌آل رادیکال (یا ایده‌آل نیم-اول)، ایده‌آلی است که برابر با رادیکال خودش باشد. رادیکال یک ایده‌آل اولیه، ایده‌آلی اول است.

تعمیم این مفهوم به حلقه های ناجابجایی در مقاله حلقه نیم-اول بحث شده است.

تعریف

رادیکال یک ایده‌آل چون $I$ در یک حلقه جابجایی به صورت $\mathrm{rad}(I)$ یا $\sqrt{I}$ نمایش داده شده و به صورت زیر تعریف می شود:

$\sqrt{I}=\{r\in R\mid r^n\in I\text{for some}n\in {\mathbb{Z}}^{+}\},$

(دقت کنید که $I\subset \sqrt{I}$). به طور شهودی، $\sqrt{I}$ با گرفتن تمام ریشه های عناصر $I$ در حلقه $R$ بدست می آید.

منابع

• M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1994. الگو:ISBN
• Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, الگو:ISBN.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

• الگو:یادکرد-ویکی