تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی

در فیزیک، تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی قسمتی از تانسور ضربه-انرژی ، ناشی از میدان الکترومغناطیسی است.

تعریف

دستگاه SI

در فضای آزاد و در فضازمان تخت، تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی در دستگاه SI چنین است:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}_{\alpha }^{\nu }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

که در آن $F^{\mu \nu }$ تانسور الکترومغناطیسی و ${\eta }_{\mu \nu }$ متریک مینکوفسکی با قطر (+++−) است. به تقارن تانسور $T^{\mu \nu }$ توجه کنید.

به طور صریح در فرم ماتریسی رابطه‌ی بالا چنین است:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& S_x/c& S_y/c& S_z/c\\ S_x/c& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{xy}& -{\sigma }_{xz}\\ S_y/c& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{yy}& -{\sigma }_{yz}\\ S_z/c& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{zy}& -{\sigma }_{zz}\end{array}\right],$

در این ماتریس، $𝐒$ بردار پوئینتینگ است:

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁,$

و ${\sigma }_{ij}$ مولفه‌های تانسور تنش ماکسول هستند:

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}.$

c هم سرعت نور است.

دستگاه CGS

برای نوشتن روابط در دستگاه گاؤسی می‌توان ثابت گذردهی خلأ و ثابت تراوایی خلاء را در روابط بالا چنین جایگزین کرد:

${ϵ}_0=\frac{1}{4\pi },{\mu }_0=4\pi$

بنابراین روابط قسمت قبل چنین خواهند شد:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

و به صورت صریح:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)& S_x/c& S_y/c& S_z/c\\ S_x/c& -{\sigma }_{xx}& -{\sigma }_{xy}& -{\sigma }_{xz}\\ S_y/c& -{\sigma }_{yx}& -{\sigma }_{yy}& -{\sigma }_{yz}\\ S_z/c& -{\sigma }_{zx}& -{\sigma }_{zy}& -{\sigma }_{zz}\end{array}\right]$

توجه کنید که در دستگاه گاؤسی، بردار پوئینتینگ چنین است:

$𝐒=\frac{c}{4\pi }𝐄\times 𝐁.$

تانسور ضربه انرژی میدان الکترومغناطیسی در محیط دی‌الکتریک کمتر شناخته شده است و موضوع مباحثه هنوز حل نشده‌ی آبراهام−مینکوفسکی است.<ref>Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007) را ببینید. /ref>

مولفه‌ی $T^{\mu \nu }$ از تانسور انرژی−تکانه بیانگر شار مولفه‌ی μام چارتکانه ی میدان الکترومغناطیسی، $P^{\mu }$ ، گذرنده از یک ابرصفحه است. ($x^{\nu }$ ثابت ). این تانسور بیان‌کننده‌ی سهم الکترومغناطیس در منشأ میدان گرانشی (انحنای فضازمان) در نسبیت عام است.

قوانین پایستگی

با کمک تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی می‌توان قوانین پایستگی تکانه‌ی خطی و انرژی در الکترومغناطیس را به صورتی فشرده نوشت. دیورژانس تانسور ضربه تنرژی چنین است:

${\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\eta }^{\mu \rho }{f}_{\rho }=0$

که در آن $f_{\rho }$ نیروی لورنتز (در ۳ بعد) وارد بر ماده بر واحد حجم است.

این معادله هم‌ارز با قوانین پایستگی معروف الکترومغناطیس در ۳ بعد است

$\frac{\partial u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄=0$

$\frac{\partial {𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \sigma +\rho 𝐄+𝐉\times 𝐁=0$

که اولی پایستگی انرژی :

$u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$

و دومی پایستگی تکانه خطی را بیان می‌کند:

${𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{𝐒}{c^2}$

J نیز چگالی جریان الکتریکی و ρ چگالی بار الکتریکی را نشان می‌دهد.

جستارهای وابسته

• معادلات ماکسول
• نسبیت عام
• معادلات میدان اینشتین
• توصیف‌های ریاضی میدان الکترومغناطیسی
• معادلات ماکسول در فضازمان خمیده
• فرمول‌بندی هموردای الکترومغناطیس کلاسیک
• مگنتو هیدرودینامیک
• حساب برداری