معادلات میدان اینشتین

معادلات میدان اینشتین

معادلات میدان اینشتین (EFE) یا معادلات اینشتین، ۱۰ معادله تانسوری هستند که آلبرت اینشتین، نخستین‌بار، ۱۹۱۵، در نسبیت عام برای توصیف مبانی برهم‌کنش‌های گرانشی که در اثر انحنای فضا-زمان از سوی ماده یا انرژی پدید می‌آیند، پیش نهاده‌است. مبنای این معادلات در رد جاذبه نیوتنی این است که عامل جذب جرم سبک‌تر از سوی جرم سنگین‌تر، انحنایی است که آن‌ها در فضا-زمان پدید می‌آورند. چون تانسور ریچی$R_{\mu \nu }$ نماد انحنای فضا-زمان و تانسور ضربه-انرژی $T_{\mu \nu }$ نماد ماده (انرژی) در محاسبات تانسوری است، بایستی رابطه خطی میان این دو برقرار باشد، اما چون مشتق هم‌وردای (کواریانت) $T_{\mu \nu }$ صفر است.

${\mathrm{\nabla }}_b{T}^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0$

مشتق هم‌وردای سوی دیگر تساوی نیز باید صفر باشد، که برای$R_{\mu \nu }$ چنین نیست. بنابراین اینشتین برای برطرف کردن این مشکل، ترکیبی از ریچی و اسکالر ریچی $R$ را از راه اتحاد بیانکی بدست آورد که مشتق کواریانت آن صفر است و به آن تانسور اینشتین گفته می‌شود.

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu },$

بنابراین با قرار دادن این عبارت به عنوان نماد انحناء در معادله و با معادله گرانش پواسن، می‌توان ضریب تناسب را به‌دست آورد؛

$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

اما اینشتین بعدها برای توضیح جهان شتاب‌دار، ثابت کیهانشناسی $\mathrm{\Lambda }$ را نیز در معادله وارد کرد

$G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

یا مفصل‌تر

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

با گنجاندن این معادله در سنجه $g_{\mu \nu }$ می‌توان گفت:

$R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{c^4}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu }).$

گاهی با در نظر گرفتن G = c = ۱، می‌توان آن را به فرم رایج

$G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=8\pi T_{\mu \nu }.$

بازنوشت. حل این معادلات در محیط بی‌جرم یا بی‌انرژی (خلاء)، به متریک شوارتزشیلد، و در محیط جرم‌دار (درون‌ستاره‌ای)، به معادله تولمن-اوپنهایمر-ولکوف می‌انجامد.

جستارهای وابسته

• نظریه میدان اسکالر
• معادله حرکت اویلر لاگرانژ
• مشتق هموردا
• اصل نسبیت
• برابری جرم و انرژی
• معادله تولمن-اوپنهایمر-ولکوف
• علایم مورد استفاده در نسبیت عام
• هندسه ریمانی
• تانسور ضربه-انرژی
• تانسور اینشتین

منابع

• Aczel، Amir D.، ۱۹۹۹. God's Equation: Einstein، Relativity، and the Expanding Universe. Delta Science. A popular account.
• چارلز میسنر، کیپ تورن، and John Wheeler، ۱۹۷۳. Gravitation. W H Freeman.