احتمال منفی

احتمال پیشامد یک آزمایش هرگز منفی نمی‌شود، اگر چه توزیع‌های شبه احتمال می گذارد تا برخی رخدادها احتمال منفی یا شبه‌احتمال داشته باشند. این توزیع‌ها ممکن است در مورد رویدادهای غیرقابل مشاهده یا احتمالات شرطی اعمال شود.

فیزیک و ریاضیات

در سال ۱۹۴۲، پل دیراک مقاله ای را با عنوان «تفسیر فیزیکی مکانیک کوانتومی» نوشت که در آن مفاهیم انرژی‌های منفی و احتمالات منفی را معرفی کرد:

"انرژیها و احتمالات منفی را نباید مزخرف دانست. آنها از نظر ریاضی مفاهیم کاملاً تعریف شده‌ای، مانند پول منفی هستند. "

مثال: آزمایش دو شکاف

یک آزمایش دو شکاف با فوتون‌ها را در نظر بگیرید. دو موج خارج شونده از هر شکاف می‌توانند به صورت زیر نوشته شوند:

$f_1(x)=\sqrt{\frac{dN/dt}{2\pi /d}}\frac{1}{\sqrt{d^2+(x+a/2{)}^2}}\exp [i(h/\lambda )\sqrt{d^2+(x+a/2{)}^2}],$

و

$f_2(x)=\sqrt{\frac{dN/dt}{2\pi /d}}\frac{1}{\sqrt{d^2+(x-a/2{)}^2}}\exp [i(h/\lambda )\sqrt{d^2+(x-a/2{)}^2}],$

که در آن d فاصله تا صفحه تشخیص، a فاصله بین دو شکاف، x فاصله تا مرکز صفحه، λ طول موج و dN / dt تعداد فوتون‌های ساطع شده در واحد زمان در منبع است. دامنه اندازه‌گیری یک فوتون در فاصله x از مرکز صفحه، مجموع این دو دامنه است که از هر سوراخ بیرون می‌آید، و بنابراین احتمال اینکه یک فوتون در موقعیت x شناسایی شود، توسط مربع این جمع داده می‌شود:

$I(x)={|f_1(x)+f_2(x)|}^2={|f_1(x)|}^2+{|f_2(x)|}^2+[f_1^{*}(x)f_2(x)+f_1(x)f_2^{*}(x)]$ ،

این یک قانون احتمال شناخته شده‌است:

$\begin{array}{cc}P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚎𝚒𝚝𝚑𝚎𝚛𝚜𝚕𝚒𝚝)=& P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟷})\\ & +P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟸})\\ & -P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚋𝚘𝚝𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝𝚜)\\ \\ =& P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡|𝚠𝚎𝚗𝚝𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟷})P(𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟷})\\ & +P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡|𝚠𝚎𝚗𝚝𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟸})P(𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟸})\\ & -P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚋𝚘𝚝𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝𝚜)\\ \\ =& P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡|𝚠𝚎𝚗𝚝𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟷})\frac{1}{2}\\ & +P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡|𝚠𝚎𝚗𝚝𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝\mathrm{𝟸})\frac{1}{2}\\ & -P(𝚙𝚑𝚘𝚝𝚘𝚗𝚛𝚎𝚊𝚌𝚑𝚎𝚜𝚡𝚐𝚘𝚒𝚗𝚐𝚝𝚑𝚛𝚘𝚞𝚐𝚑𝚋𝚘𝚝𝚑𝚜𝚕𝚒𝚝𝚜)\end{array}$

به رنگ آبی، مجموع احتمالات عبور از سوراخ‌های ۱ و ۲؛ به رنگ قرمز، منفی احتمال مشترک عبور از «هر دو سوراخ». الگوی تداخل با جمع زدن دو منحنی بدست می‌آید.

اگر یکی از سوراخ بسته شده و بدین ترتیب فوتون مجبور به عبور از طریق شکاف دیگر شود، دو شدت مربوط به آن چنین اند:

$I_1(x)={|f_1(x)|}^2=\frac{1}{2}\frac{dN}{dt}\frac{d/\pi }{d^2+(x+a/2{)}^2}$ و $I_2(x)={|f_2(x)|}^2=\frac{1}{2}\frac{dN}{dt}\frac{d/\pi }{d^2+(x-a/2{)}^2}$ .

اما اکنون اگر کسی هرکدام از این اصطلاحات را به این روش تفسیر کند، احتمال مشترک تقریباً هر $\lambda \frac{d}{a}$ منفی می‌شود! $\begin{array}{cc}{I}_{12}(x)& =[f_1^{*}(x)f_2(x)+f_1(x)f_2^{*}(x)]\\ & =\frac{1}{2}\frac{dN}{dt}\frac{d/\pi }{\sqrt{d^2+(x-a/2{)}^2}\sqrt{d^2+(x+a/2{)}^2}}\sin [(h/\lambda )(\sqrt{d^2+(x+a/2{)}^2}-\sqrt{d^2+(x-a/2{)}^2})]\\ \end{array}$

با این حال، این احتمالات منفی هرگز مشاهده نمی‌شوند زیرا نمی‌توان مواردی را که فوتون «در هر دو برش» عبور کند، ایزوله کرد، اما این احتمال‌های منفی می‌تواند به وجود پاد ذره‌ها اشاره کند.

مهندسی

مفهوم احتمالات منفی همچنین برای مدلهای مکان تأسیسات قابل اطمینان ارائه شده‌است که در آن تسهیلات همزمان با تعیین موقعیت تسهیلات، تخصیص مشتری و برنامه‌های خدمات پشتیبان، در معرض خطرات مختل از همبستگی منفی قرار بگیرند.