اتحاد اویلر

الگو:جعبه عدد e در ریاضیات اتحاد اویلر الگو:انگلیسی یا با نامی دیگر معادله اویلر، این اتحاد است که

$e^{i\pi }+1=0$

و در آن

$e$ عدد اویلر، پایهٔ لگاریتم طبیعی،

$i$ (یکه موهومی) با رابطهٔ $i^2=-1$،

و $\pi$ (عدد پی) که ثابت نسبت محیط دایره است.

این اتحاد در آنالیز ریاضی به افتخار لئونارد اویلر ریاضیدان سوئیسی نامگذاری شده است؛ و به عنوان نمونه ای از زیبایی ریاضی شناخته می شوند.

توضیح

گرافیتو هویت اویلر

اتحاد اویلر حالت خاصی از فرمول اویلر در آنالیز مختلط است که بیان می‌دارد برای هر عدد حقیقی $x$:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

که در آن مقادیر توابع مثلثاتی $\sin$ و $\cos$ بر حسب رادیان است. پس اگر $x=\pi$، داریم:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

و از آنجا که

$\cos \pi =-1$

و

$\sin \pi =0,$

نتیجه می‌شود:

$e^{i\pi }=-1+0i,$

که اتحاد اویلر را نتیجه می‌دهد:

$e^{i\pi }+1=0.$

زیبایی ریاضی

اتحاد اویلر اغلب به عنوان نمونه‌ای از زیبایی عمیق ریاضی ذکر می‌شود. در آن سه تا از اعمال حسابی پایه دقیقاً یک بار روی می‌دهند: جمع، ضرب و توان. این اتحاد همچنین پنج ثابت بنیادین ریاضی را به هم پیوند می‌دهد:

• عدد ۰، عنصر همانی جمع.
• عدد ۱، عنصر همانی ضرب.
• عدد π، که در هندسه فضای اقلیدسی و ریاضیات تحلیلی همه جا موجود است (π = ۳٫۱۴۱...)
• عدد e، پایه لگاریتم طبیعی، که به طور گسترده‌ای در آنالیز ریاضی خود را نشان می‌دهد (e = ۲٫۷۱۸...)
• عدد i، یکه موهومی اعداد مختلط، که میدانی از اعداد هستند که شامل ریشه همه چندجمله‌ای‌ها (آن‌هایی که ثابت نیستند) هستند، و مطالعه‌شان منجر به بینشی عمیق‌تر در حوزه‌های مختلف جبر و حسابان شد.

استاد ریاضیات دانشگاه استنفورد، کیث دولین گفته است، «مثل یک غزل شکسپیری که درست همان ماهیت واقعی عشق را مجسم می‌کند، یا نقاشی‌ای که زیبایی شکل و قالب انسان را به نمایش می‌گذارد، که بسیار بیش تر و فراتر از صرفاً منافذ پوستین است، اتحاد اویلر به عمق واقعی هستی نائل می‌شود.» و پاول ناهین، استاد بازنشسته (یا به صورت افتخاری از خدمت معاف شده) دانشگاه نیوهمپشر، که کتابی مختص فرمول اویلر و کاربردهایش در آنالیز فوریه نوشته است، اتحاد اویلر را دارای «زیبایی اعلا» توصیف می‌کند.

جستارهای وابسته

• فرمول دو مواور
• تابع نمایی
• ثابت گلفوند
• یادواره‌های لئونارد اویلر