توزیع فوق‌هندسی

الگو:جعبه اطلاعات توزیع احتمال توزیع فوقِ‌هندسی الگو:به انگلیسی مجموعه ای از N عضو را در نظر بگیرید که k عضو آن دارای یک ویژگی و بقیه، فاقد این ویژگی هستند. مانند 500 لامپ موجود در یک جعبه که 300 تای آن سالم و بقیه معیوب باشند. حال فرض کنید می خواهیم از این مجموعه، n عضو به صورت تصادفی (بدون جایگذاری) انتخاب کنیم. دراین صورت اگر متغیر تصادفی X تعداد عناصری در n برداشت باشد که دارای ویژگی موردنظر هستند، می گوئیم X دارای توزیع فوق هندسی است.

تعریف

ابتدا برای درک بهتر این توزیع یک مثال مطرح می‌کنیم. فرض کنید از جعبه‌ای شامل D فیوز معیوب و N-D فیوز سالم، n فیوز را به‌طور تصادفی و بدون‌جایگذاری انتخاب‌کنیم. به‌علاوه فرض‌کنیدn، تعداد فیوزهای استخراجی از تعداد فیوزهای معیوب و فیوزهای سالم تجاوز نکند. فرض‌کنید متغیرتصادفی X تعداد فیوزهای معیوب خارج شده باشد. بنابراین:الگو:سخ تعریف: فرض کنید D,N و n اعداد صحیح و مثبت‌اند، با $n\le min(D,N-D)$. دراینصورت،

$p(k)=P(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-D}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}fork\in 0,1,2,...,n$

را تابع جرم‌احتمال توزیع فوق‌هندسی می‌گویند.

اثبات ترکیبیاتی تابع احتمال بودن

با استفاده از اتحاد ترکیبیاتی واندرموند به راحتی می‌توان نتیجه‌گرفت که الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-D}{n-k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})$الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخکه با استفاده از آن برای همه‌ی مقادیر k به‌سادگی می‌توان $\sum _{k=0}^{n}p(k)=1$ را نتیجه‌گرفت.

متوسط و واریانس متغیرتصادفی فوق‌هندسی

برای متغیرتصادفی فوق‌هندسی X که در بالا تعریف شد داریم: الگو:سخ الگو:سخ الگو:سخ الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\mathrm{E}[X]=\frac{nD}{N}$الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\mathrm{Var}[X]=\frac{nD(N-D)}{N^2}(1-\frac{n-1}{N-1}).$الگو:پایان چپ‌چین توجه‌کنید که اگر آزمایش ستخراج n قلم کالا از جعبه‌ای شامل D قلم کالای معیوب و N-D قلم کالای سالم را با جایگذاری انجام‌دهیم، دراینصورت X دارای توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای n و$\frac{D}{N}$ است. پس: الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\mathrm{E}[X]=\frac{nD}{N}$الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ الگو:چپ‌چین$\mathrm{Var}[X]=n\frac{D}{N}(1-\frac{D}{N})=\frac{nD(N-D)}{N^2}.$الگو:پایان چپ‌چین اینها نشان‌ می‌دهند که اگر اقلام با جایگذاری انتخاب شوند، دراینصورت امیدریاضی X تغییر نمی‌کند اما واریانس X افزایش پیدامی‌کند. با وجود این اگر n بسیار کوچکتر از N باشد دراینصورت باتوجه به فرمول واریانس، استخراج باجایگذاری تقریب خوبی برای استخراج بدون‌ جایگذاری است.

مثال

در یک کیسه 24 مهره وجود دارد که 4 تای آن قرمز و مابقی سفید هستند. اگر از این کیسه 6 مهره به تصادف و بدون جایگذاری برداریم وX تعداد مهره‌های قرمز باشد؛ توزیع احتمال X را به دست آورید. احتمال اینکه هیچ مهره قرمزی بدست نیاید چقدر است؟ داریم n=6 ,D=4 , N=24 بنابراین توزیع احتمال X فوق هندسی و به صورت زیر است: الگو:سخ الگو:چپ‌چین$p(k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{6-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{6})}k\in 0,1,2,3,4$الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخدر نتیجه احتمال اینکه هیچ مهره‌ای قرمز نباشد می‌شود: الگو:سخ الگو:چپ‌چین$p(0)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{6})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{6})}=0.288$الگو:پایان چپ‌چین

منابع

• الگو:یادکرد