منیفلد فینسلری

در ریاضیات، به ویژه هندسه دیفرانسیل، منیفلد فینسلر یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر $M$ است که در آن یک نرم میکوفسکی (احتمالا پادمتقارن) $F(x,-)$ روی هر فضای مماس $T_{x}M$ فراهم می‌شود و به کمک آن می‌توان طول هر خم هموار $\gamma :[a,b]\to M$ را به فرم زیر تعریف کرد:

$L(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(\gamma (t),\dot{\gamma }(t))\mathrm{d}t.$

منیفلدهای فینسلر کلی تر از منیفلدهای ریمانی هستند زیرا برای تعریف نرم مماس نیازی به ضرب داخلی نیست.

الی کارتان این منیفلدها را به افتخار پل فینسلر که این هندسه را در پایان‌نامه خود مطالعه کرد، منیفلدهای فینسلر نامید.

تعریف

منیفلد فینسلر یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر الگو:Math به همراه متریک فینسلری که یک تابع پیوسته نامنفی $F:T_M\to [0,\mathrm{\infty })$ است که روی بسته مماس طوری تعریف می‌شود که برای هر نقطه $x$ در $M$ :

• برای هر دو بردار $v,w$ مماس بر $M$ در $x$ داریم (زیرجمع پذیری) :

$F(v+w)\le F(v)+F(w)$

• برای هر $\lambda \ge 0$ (و نه لزوماً برای $\lambda <0$) داریم (همگنی مثبت) :

$F(\lambda v)=\lambda F(v)$

• $F(v)>0$ مگر اینکه $v=0$ (مثبت معین)

به عبارت دیگر ، $F(x,-)$ یک نرم پادمتقارن روی هر فضای مماس $T_{x}M$ . متریک فینسلر $F$ نیز باید هموار باشد، به‌طور دقیق تر:

• $F$ روی مکمل بخش صفر $T_M$ هموار است.

منابع

• الگو:Citation

• الگو:Cite book