تابع بتا

تابع بتا یا انتگرال نوع اول اویلر به شکل زیر تعریف می‌شود:

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

برای $\text{Re}(x),\text{Re}(y)>0$.

خواص تابع بتا

تابع بتا یک تابع متقارن است به این معنی که:

$B(p,q)=B(q,p)$

این تابع از طریق زیر با تابع گاما مرتبط است:

$B(x,y)=\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)/\mathrm{\Gamma }(x+y)$

وقتی $x$ و $y$ هر دو صحیح و مثبت باشند، طبق تعریف تابع گاما معادله پایین برقرار خواهد بود:

$\begin{array}{cc}\mathrm{B}(x,y)& =\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\\ \mathrm{B}(x,y)& =2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta ,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0\\ \mathrm{B}(x,y)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0\\ \mathrm{B}(x,y)& =n\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{nx-1}(1-t^n{)}^{y-1}dt,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0,n>0\\ \mathrm{B}(x,y)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n},\\ \mathrm{B}(x,y)& =\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1}\end{array}$

از دیگر خواص تابع بتا معادله پایین است:

$\begin{array}{cc}\mathrm{B}(x,y)& =\mathrm{B}(x,y+1)+\mathrm{B}(x+1,y)\\ \mathrm{B}(x+1,y)& =\mathrm{B}(x,y)\cdot \frac{x}{x+y}\\ \mathrm{B}(x,y+1)& =\mathrm{B}(x,y)\cdot \frac{y}{x+y}\\ \mathrm{B}(x,y)& \cdot (t\mapsto t_{+}^{x+y-1})=(t\to t_{+}^{x-1})*(t\to t_{+}^{y-1})& & x\ge 1,y\ge 1,\\ \mathrm{B}(x,y)& \cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)}\\ \mathrm{B}(x,1-x)& =\frac{\pi }{\sin (\pi x)}\\ \mathrm{B}(1,x)& =\frac{1}{x}\end{array}$

تابع بتا را می توان با تقریب استرلینگ برای $x$ و $y$ های بزرگ به شکل پایین نمایش داد:

$\mathrm{B}(x,y)\sim \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-1/2}{y}^{y-1/2}}{(x+y{)}^{x+y-1/2}}$

ولی اگر فقط $x$ بزرگ بود تقریب به شکل پایین تغییر خواهد یافت:

$\mathrm{B}(x,y)\sim \mathrm{\Gamma }(y)x^{-y}.$

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی
• الگو:Citation