نماد لوی-چیویتا

نماد لوی-چیویتا الگو:انگلیسی یا نماد جایگشت یک شبه تانسور همسانگرد است که برای ساده‌سازی در محاسبات تانسوری بسیار مفید است. این نماد به افتخار ریاضیدان ایتالیایی تولیو لوی-چیویتا الگو:ایتالیایی نامگذاری شده‌است.

نمایش نماد لوی-چیویتا در سه بعد

تعریف

نماد لوی-چیویتا در سه بعد به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{if }(i,j,k)\text{ is }(1,2,3),(3,1,2)\text{ or }(2,3,1),\\ -1& \text{if }(i,j,k)\text{ is }(3,2,1),(1,3,2)\text{ or }(2,1,3),\\ 0& \text{otherwise: }i=j\text{ or }j=k\text{ or }k=i,\end{array}$

همچنین این نماد را می‌توان از رابطه زیر بدست آورد:

${\epsilon }_{ijk}=-[(i-j{)}^2\mathrm{\%}3][(i-k{)}^2\mathrm{\%}3][(j-k{)}^2\mathrm{\%}3][(j-(i\mathrm{\%}3)-\frac{1}{2}{)}^2-\frac{5}{4}]$

که % نماد عملگر باقی‌مانده است.

کاربرد

از این نماد مفید برای ساده‌سازی عبارات طولانی و پیچیده استفاده می‌شود. به عنوان مثال در ضرب خارجی a و b داریم:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

که با استفاده از قرارداد جمع‌زنی انیشتین به صورت زیر در می‌آید:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛={\epsilon }_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

و یا اگر A یک ماتریس ۳در۳ باشد، دترمینان آن را به صورت خلاصه زیر می‌توان نمایش داد:

$\det A=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}={\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$

تعمیم

این نماد را برای ابعاد دیگر هم می‌توان تعریف کرد. به این صورت که برای ${\epsilon }_{ijkl}$ اگر $ijkl...$ جایگشت زوجی از $(1,2,3,4,...)$ باشد برابر $+1$ و اگر جایگشت فردی از آن باشد برابر $-1$ است. به عبارت دیگر:

${\epsilon }_{ijk\ell \dots }=\{\begin{array}{cc}+1& \text{if }(i,j,k,\ell ,\dots )\text{ is an even permutation of }(1,2,3,4,\dots )\\ -1& \text{if }(i,j,k,\ell ,\dots )\text{ is an odd permutation of }(1,2,3,4,\dots )\\ 0& \text{if any two labels are the same}\end{array}$

جستارهای وابسته

• تانسور
• دلتای کرونکر
• علایم مورد استفاده در نسبیت عام

منابع

• الگو:یادکرد

• Weisstein, Eric W. "Permutation Symbol." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PermutationSymbol.html