توزیع گاما

الگو:توزیع احتمال توزیع گاما یکی از توزیع‌های احتمالی پیوسته است و دارای دو پارامتر مقیاس θ، و پارامتر شکل k می‌باشد. اگر k عددی طبیعی باشد آنگاه توزیع گاما معادل است با مجموع k متغیر تصادفی با توزیع نمایی با پارامتر $\frac{1}{\theta }$.

تعریف

تابع چگالی احتمال به صورت زیر محاسبه می شود:

$f(x;k,\theta )=x^{k-1}\frac{e^{-x/\theta }}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x>0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}k,\theta >0.$

که در آن $\mathrm{\Gamma }$ تابع گاما، θ پارامتر مقیاس، و k پارامتر شکل می‌باشند.

تابع گاما، انتگرالی همگراست و مقدار آن برابر با عددی مثبت است:

$\mathrm{\Gamma }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{y}^{k-1}.exp(-y)dy,k>0.$

ویژگی‌ها

هرگاه k (پارامتر شکل) یک عدد صحیح و مثبت چون n باشد، می‌توان از توزیع گاما برای تخمین زدن مدت‌زمان لازم برای روی‌دادن n پیشامد استفاده نمود.

توزیع مجموع

اگر $X_i\sim \mathrm{\Gamma }(k_i,\theta )$ اگر n متغیر دو به دو مستقل از هم باشند، آنگاه:

$\sum _{i=1}^N{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(\sum _{i=1}^N{k}_i,\theta )$

در نتیجه توزیع گاما بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

توزیع‌های مرتبط

هرگاه k=۱ شود، حالت خاصی از توزیع گاما به وجود می‌آید که توزیع نمایی نامیده می‌شود. به ازای k=2 نیز توزیع گاما برابر توزیع رایلی میشود. الگو:-

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی
• اخوان نیاکی، دکتر سید تقی، نظریه احتمال و کاربرد آن (ویرایش دوم)، مؤسسهٔ انتشارات دانشگاه صنعتی شریف، صص 334 - 332، الگو:شابک.