هسته (جبر خطی)

در ریاضیات، هسته یا فضای پوچ یک نگاشت خطی، زیرفضایی خطی از دامنهٔ همان نگاشت خطی است که توسط آن نگاشت، به بردار صفر نگاشته می‌شود. به ازای نگاشت خطی الگو:ریاضی بین دو فضای برداری الگو:Mvar و الگو:Mvar، هسته الگو:Mvar فضای برداری تمام عناصر الگو:ریاضی از الگو:Mvar است به طوری که الگو:ریاضی ، که در اینجا منظور از الگو:ریاضی، بردار صفر یا عضو بی‌اثر نسبت به جمع در الگو:Mvar است. به عبارت دیگر:

$\ker (L)=\{𝐯\in V\mid L(𝐯)=\mathrm{𝟎}\}$

ویژگی‌ها

هسته و تصویر(برد) مربوط به نگاشت الگو:Mvar

هسته الگو:Mvar یک زیرفضای خطی با دامنه الگو:Mvar است. در نگاشت خطی الگو:ریاضی ، دو عنصر از الگو:Mvar در الگو:Mvar دارای تصویر یکسان هستند اگر و فقط اگر تفاضل آن دو، عضوی از هسته الگو:Mvar باشد:

$L({𝐯}_1)=L({𝐯}_2)⟺L({𝐯}_1-{𝐯}_2)=\mathrm{𝟎}$

از اینجا نتیجه می‌گیریم که تصویر(برد) الگو:Mvar با خارج قسمت تقسیم الگو:Mvar بر هسته‌ی الگو:Mvar، یک‌ریخت است:

$\mathrm{im}(L)\cong V/\ker (L)$

در صورتی که بعد الگو:Mvar متناهی باشد، رابطه‌ی مذکور بیانگر قضیه‌ی رتبه و پوچی است:

$\dim (\ker L)+\dim (\mathrm{im}L)=\dim (V).$

که در این قضیه، منظور از رتبه بعد تصویر(برد) الگو:Mvar و منظور از پوچی بعد هسته الگو:Mvar است.

وقتی که الگو:Mvar یک فضای ضرب داخلی باشد، می توان خارج قسمت الگو:ریاضی را به عنوان مکمل متعامد الگو:ریاضی در فضای الگو:Mvar تلقی کرد. این تعمیمی بر عملگرهای خطی مربوط به فضای سطری یا Coimage یک ماتریس است.