فضای ضرب داخلی

با توجه به مفهوم ضرب داخلی و یک فضای برداری، فضای ضرب داخلی الگو:انگلیسی عبارتست از یک فضای برداری (حقیقی یا مختلط) با ضرب داخلی‌ای مشخص بر روی آن.

ضرب‌های داخلی

مثالی از ضرب داخلی، همان ضرب نقطه‌ای یا اسکالری بردارها در $R^3$ است.ضرب اسکالری بردارهای $\alpha =(x_1,x_2,x_3)$ و$\beta =(y_1,y_2,y_3)$ در $R^3$ عبارت است از: الگو:چپ‌چین $(\alpha |\beta )=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$ الگو:پایان چپ‌چین از نظر هندسی، این ضرب نقطه‌ای عبارت است از حاصل ضرب طول $\alpha$ در طول $\beta$ در کسینوس زاویه‌ی بین $\alpha$ و $\beta$ . بنابراین مفاهیم طول و زاویه را در $R^3$ می‌توان با ضرب اسکالری که به طور جبری تعریف می‌شود نیز تعریف کرد. حال تعریف ضرب داخلی را بسط می‌دهیم.

تعریف

فرض کنیم F هیئت اعداد حقیقی یا هیئت اعداد مختلط و V فضایی برداری برروی F باشد.یک ضرب داخلی روی V تابعی است که به هر جفت مرتب از بردارهای $\alpha$ و$\beta$ اسکالری چون $(\alpha |\beta )$ در F را طوری اختصاص می‌دهد که به ازای همه‌ی $\alpha$ ها، $\beta$ ها و $\gamma$های در V و همه‌ی اسکالرهای c داشته باشیم:
الگو:چپ‌چین 1.$(\alpha +\beta |\gamma )=(\alpha |\gamma )+(\beta |\gamma )$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین 2.$(c\alpha |\beta )=c(\alpha |\beta )$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین 3.$(\beta |\alpha )=(\alpha |\beta )$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین 4.$(\alpha |\alpha )\ge 0$ الگو:پایان چپ‌چینالبته اگر در فضای مختلط باشد ویژگی سوم با ویژگی زیر عوض می‌شود.الگو:چپ‌چین 3.$(\beta |\alpha )=\overline{(\alpha |\beta )}$ الگو:پایان چپ‌چینویژگی اول و دوم به خطی بودن رابطه مربوطند.

خاصیت های ضرب داخلی

مفاهیمی نظیر طول و تعامد به‌وسیله ضرب داخلی روی فضا تحمیل می‌شوند.

به یک فضای ضرب داخلی مختلط فضای یکانی و به یک فضای ضرب داخلی حقیقی با بعد متناهی یک فضای اقلیدسی می‌گویند.

طبق یک قضیه اگر $V$ یک فضای ضرب داخلی باشد آنگاه به ازای هر دو بردار $\alpha$ و $\beta$ در $V$ و هر اسکالر $c$:

• $\Vert c\alpha \Vert =\mid c\mid \Vert \alpha \Vert$
• به ازای $\alpha \ne 0$، $\Vert \alpha \Vert \ge 0$
• $\mid (\alpha \mid \beta )\mid \le \Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert$ (نابرابری کوشی-شوارتز)
• $\Vert \alpha +\beta \Vert \le \Vert \alpha \Vert +\Vert \beta \Vert$

جستارهای وابسته

• فضای برداری

منابع

• الگو:یادکرد