توزیع تعمیم‌یافته گاما

الگو:توزیع احتمال توزیع تعمیم‌یافته گاما یک توزیع احتمال پیوسته‌است که با سه پارامتر تعریف می‌شود. این توزیع در حقیقت یک تعمیم از توزیع گامای دو پارامتره است. از آنجا که بسیاری از توزیعهایی که برای آنالیز بقا مورد استفاده قرار می‌گیرند (مانند توزیع نمایی، توزیع وایبول، توزیع گاما و توزیع نیمه نرمال) موارد خاصی از توزیع تمیم‌یافته گاما هستند، گاهی اوقات از این توزیع برای تعیین مدل مناسب با توجه به مجموعه داده‌ها استفاده می‌کنند.

مشخصات

توزیع تعمیم‌یافته گاما دارای سه پارامتر است: $a>0$، $d>0$، و $p>0$. برای $x$ غیر منفی، تابع چگالی احتمال گامای تعمیم‌یافته عبارت است از: الگو:وسط‌چین $f(x;a,d,p)=\frac{(p/a^d)x^{d-1}{e}^{-(x/a{)}^p}}{\mathrm{\Gamma }(d/p)}$ الگو:پایان وسط‌چین در اینجا $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ تابع گاما را نشان می‌دهد.

تابع توزیع تجمعی برابر است با: الگو:وسط‌چین $F(x;a,d,p)=\frac{\gamma (d/p,(x/a{)}^p)}{\mathrm{\Gamma }(d/p)}$ الگو:پایان وسط‌چین در اینجا $\gamma (\cdot )$ تابع گاما ناقص پایین را نشان می‌دهد.

اگر $d=p$ آنگاه توزیع تعمیم‌یافته گاما به توزیع وایبول تبدیل می‌شود. همچنین اگر $p=1$ آنگاه توزیع تعمیم‌یافته گام به توزیع گاما تبدیل می‌شود.

گشتاور

اگر $X$ یک توزیع تعمیم‌یافته گاما باشد گشتاورهای آن عبارت خواهند بود از: الگو:وسط‌چین $\mathrm{E}(X^r)=a^r\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{d+r}{p})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{d}{p})}$ الگو:پایان وسط‌چین

معیار واگرایی کولبک-لیبلر

الگو:اصلی اگر $f_1$ و $f_2$ توابع چگالی احتمال دو توزیع تعمیم یافته گاما باشند، آنگاه معیار واگرایی کولبک-لایبلر آنها برابر خواهد بود با: الگو:وسط‌چین $\begin{array}{cc}{D}_{KL}(f_1\parallel f_2)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_1(x;a_1,d_1,p_1)\ln \frac{f_1(x;a_1,d_1,p_1)}{f_2(x;a_2,d_2,p_2)}dx\\ & =\ln \frac{p_1{a}_2^{d_2}\mathrm{\Gamma }(d_2/p_2)}{p_2{a}_1^{d_1}\mathrm{\Gamma }(d_1/p_1)}+[\frac{\psi (d_1/p_1)}{p_1}+\ln a_1](d_1-d_2)+\frac{\mathrm{\Gamma }((d_1+p_2)/p_1)}{\mathrm{\Gamma }(d_1/p_1)}{\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^{p_2}-\frac{d_1}{p_1}\end{array}$ الگو:پایان وسط‌چین در اینجا $\psi (\cdot )$تابع دایگما است.