اتحاد پاسکال

الگو:اشتباه نشود در ریاضیات، اتحاد پاسکال یک همانی ترکیبیاتی در مورد ضریب دوجمله‌ای است. بنابر اتحاد پاسکال، به‌ازای هر عدد طبیعی n

که در آن $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ یک ضریب دوجمله‌ای است. نوشتن این اتحاد به صورت زیر هم رایج است: الگو:فس الگو:فس

اثبات ترکیبیاتی

اثباتی شهودی برای این اتحاد وجود دارد. یادآوری می‌شود که $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ تعداد حالت‌هایی است که می‌توان از مجموعه‌ای n تایی، k چیز برداشت. یک عضو دلبخواهی از مجموعه به عنوان X جدا می‌شود. حال هر بار که زیرمجموعه‌ای k تایی از مجموعه برداشته شود، X یا عضو این زیر مجموعه است یا عضو این زیرمجموعه نیست. اگر X عضو زیر مجموعه باشد، با کنار گذاشتن آن تعداد حالت‌ها برابر $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$ می‌شود. اگر X عضو زیرمجموعه نباشد با کنار گذاشتن آن تعداد حالت‌ها برابر $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})$ است. از آنجا که حالت دیگری ممکن نیست (X یا در زیرمجموعهٔ kتایی هست یا در آن نیست) پس الگو:فس

اثبات جبری

قصد بر این است که ثابت شود: الگو:فس

تعمیم

اگر $n,k_1,k_2,k_3,\dots ,k_p,p\in {\mathbb{N}}^{*}$ و $n=k_1+k_2+k_3+\cdots +k_p$. آنگاه:

جستارهای وابسته

• مثلث خیام-پاسکال

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی